Докажите, что каждое поле является целостной областью

В этой статье мы обсудим и докажем, что каждое поле в алгебраической структуре является целостной областью. Поле — это нетривиальное кольцо R с единицей. Если нетривиальное унитарное кольцо коммутативно и каждый ненулевой элемент R является единицей, то непустое множество F образует поле относительно двух бинарных операций. и +.

Звенеть:

Пусть R — непустое множество с двумя бинарными операциями, сложением и умножением, тогда алгебраическая структура ( R, +, ∗ ) называется кольцом , если она удовлетворяет следующим условиям:

1. Свойство замыкания при сложении: для всех a, b ∈ R имеем a + b ∈ R.
2. Ассоциативность при сложении: для всех a, b, c ∈ R имеем ( a + b ) + c = a + ( b + c )
3. Существование аддитивной идентичности: для всех a ∈ R существует 0 ∈ R такой, что a+ 0 = a = 0 + a
4. Существование аддитивного обратного: для каждого a ∈ R существует a ∈ R такое, что a + (-a) = 0 = (-a) + a
5. Коммутативное свойство: для всех a, b ∈ R имеем a + b = b + a
6. Свойство замыкания при умножении: для всех a, b ∈ R имеем ab ∈ R
7. Ассоциативность при умножении: для всех a, b, c ∈ R имеем a(bc) = (ab)c
8. Распределительное свойство: для всех a, b, c ∈ R имеем a (b + c) = a. б + а . с

Коммутативное кольцо: кольцо R, для которого a . б = б . a для всех a, b ∈ R называется коммутативным кольцом.

Поле:

Кольцо R называется полем, если оно

1. Коммутативный
2. Имеет единичный элемент,
3. И каждый ненулевой элемент обладает мультипликативным обратным.

Пример поля: множество R всех действительных чисел является полем, поскольку R является коммутативным кольцом с единицей, и каждый ненулевой элемент имеет мультипликативную инверсию.

Интегральный домен:

Кольцо R называется областью целостности, если оно

1. Коммутативный
2. Имеет единичный элемент
3. И не имеет делителей нуля.

Пример: множество Z всех целых чисел является областью целостности, поскольку Z является коммутативным кольцом с единицей и также не имеет делителей нуля.

Доказательство:

Пусть F — любое поле. Мы знаем, что поле F — коммутативное кольцо с единицей. Итак, чтобы доказать, что каждое поле является областью целостности, мы должны показать, что F не имеет делителей нуля.

Пусть a & b элементы F с a ≠ 0, такие что ab = 0.

Теперь a ≠ 0 означает, что a ^-1 существует.

For ab = 0,
multiply a-1 to both sides,
(ab)a-1  = (0)a-1
(a.a-1)b = 0
(1)b = 0
⇒ b = 0

Следовательно, a ≠ 0, ab = 0 означает, что b = 0

Аналогично, пусть ab = 0 и b ≠ 0

Теперь b ≠ 0 означает, что b ^-1 существует.

For ab = 0,
multiply b-1 to both sides,
(ab)b-1  = (0)b-1
(b.b-1)a = 0
(1)a = 0
⇒ a = 0

Следовательно, b ≠ 0, ab = 0 означает, что a = 0

В поле F,

ab = 0 ⇒ a = 0 or b = 0

Следовательно, F не имеет делителей нуля.

Отсюда доказано, что поле является областью целостности.