Введение в комплексный анализ

Комплексный анализ — это раздел математики, который занимается комплексными числами, их функциями и исчислением. Проще говоря, комплексный анализ — это расширение исчисления действительных чисел на комплексную область. Мы распространим известные из математического анализа понятия непрерывности, производных и интегралов на случай комплексных функций комплексного переменного. При этом мы столкнемся с аналитическими функциями, которые составляют центральную часть этого введения. На самом деле комплексный анализ в значительной степени является изучением аналитических функций.

Основным компонентом комплексного анализа является аналитическая функция, или, как мы хорошо знаем в математическом анализе, дифференцируемая функция. Любое комплексное число z можно рассматривать как точку на плоскости ( x,y ), поэтому z = x+iy, где i=√-1. Аналогичным образом любую комплексную функцию комплексной переменной z можно разделить на две функции, например, f(z)=u(z)+iv(z) или f(x,y)=u(x ,у)+iv(х,у). Ясно, что такие функции зависят от двух независимых переменных и имеют две разделимые функции, поэтому для построения графика функции потребуется четырехмерное пространство, что трудно себе представить.

Конечно, первая отправная точка исчисления сложных функций состоит в том, чтобы начать с непрерывности функции, а затем постепенно перейти к дифференцируемости в комплексной области.

Преемственность

Начнем с довольно тривиального случая комплекснозначной функции. Предположим, что f комплекснозначная функция вещественной переменной. Это означает, что если x — действительное число, f(x) — комплексное число, которое можно разложить на действительную и мнимую части: f(x) = u(x)+iv(x) , где u и v — вещественные функции действительной переменной; то есть объекты, с которыми вы знакомы из реального исчисления. Мы говорим, что f непрерывна в точке _x0 , если u и v непрерывны в точке _x0 .

Непрерывность комплекснозначной функции комплексного переменного является нетривиальным свойством. Функция называется непрерывной в точке z _o , если она приближается к значению f(z _o ) , когда z приближается к z _o . Поскольку z находится в сложной плоскости (также известной как плоскость Аргана), она может приближаться к точке с разных направлений. Следовательно, нам необходимо уточнить наше определение, чтобы оно соответствовало новым потребностям.

Формально мы говорим, что f(z) непрерывна в точке z _o , если для любого ε>0 существует δ>0 такое, что |f(z)-f(z _o )|<ε для всех |zz _o |<δ. Таким образом, всякий раз, когда z находится внутри диска радиуса δ с центром в z _o (называемом окрестностью z _o ), и функция приближается к значению f (z _o ).

Аналитичность

Как только мы установили понятия непрерывности сложных функций, мы можем погрузиться в дифференциацию сложных функций. Обсуждая дифференцирование сложных функций, мы увидим, что такие функции должны удовлетворять важному критерию, называемому уравнениями Коши-Римана . Если аналогия поможет, мы знаем, что для того, чтобы производная действительной функции существовала конечно в данной точке, функция должна быть непрерывной в этой точке. Аналогичным критерием для комплексных функций являются уравнения Коши-Римана. Вскоре мы увидим доказательство в следующем обсуждении.

Комплекснозначную функцию действительной переменной можно легко дифференцировать, как f'(x)=u'(x)+iv'(x), где f(x) - комплекснозначная функция вещественной переменной x. Другими словами, мы расширяем операцию дифференцирования комплексно-линейно. Здесь нет ничего нового.

Однако ситуация меняется, когда f становится функцией комплексной переменной z . Мы знаем, что комплексная переменная z сама по себе является парой двух действительных переменных x и y . Мы изображаем z как точку на комплексной плоскости с упорядоченной парой ( x, y ) и обозначаем z = x + iy. Таким образом, возникает вопрос, как отличить комплексную функцию от комплексной переменной. Как и следовало ожидать, у нас есть определение производной, аналогичное реальному исчислению:

Итак, первая задача состоит в том, как сделать δz исчезающе малым. В комплексной плоскости мы можем делать это с нескольких направлений. Как видно из определения, производная функции не должна меняться при взятии предела. В противном случае мы будем получать новую производную каждый раз, когда будем менять пределы. На самом деле мы исследуем, как изменяется функция f(z) , когда мы берем δz⇢0, или, другими словами, δx⇢0 и δy⇢0. По существу, наша производная не должна меняться при изменении порядка взятия пределов. И изменение порядка пределов не всегда гарантирует одно и то же значение (каждый математик может придумать функцию, доказывающую это утверждение!). Итак, дифференцируемость — нетривиальное свойство в сложном мире.

Теперь давайте напишем f(z)=u(z)+iv(z) или, что то же самое, f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y) .

Далее возьмем сначала δx⇢0, а затем δy⇢0. Это эквивалентно взятию δz⇢0 вдоль мнимой оси.

Теперь, наоборот, возьмем сначала δy⇢0, а затем δx⇢0. Это эквивалентно взятию δz⇢0 вдоль действительной оси.

Два выражения совпадают тогда и только тогда, когда:

Здесь мы получили уравнения Коши-Римана.

Итак, чтобы проверить, дифференцируема ли функция f(z) в точке z _o =x _o +iy _o , нам нужно посмотреть, удовлетворяют ли они уравнениям Коши-Римана. И тогда их производная дается любым выражением, полученным для f'(z _o ).

Можно заметить, что дифференцировать в сложном мире действительно непросто, и есть много функций, которые на самом деле не дифференцируемы, даже самые простые (попробуйте дифференцировать z*, комплексно-сопряженную функцию z).

Можно сказать, что функция называется аналитической или голоморфной в окрестности _z0 , если она дифференцируема в этой окрестности. Функция, аналитическая во всей комплексной плоскости, называется целой.

Важно понимать, что аналитичность, в отличие от дифференцируемости, является свойством функции не в точке, а на открытом множестве точек. Причина этого в том, чтобы иметь возможность исключить из класса интересных функций функции, которые могут быть дифференцируемыми в одной точке, но нигде больше. Хотя это редкость в исчислении, это очень обычное явление для комплекснозначных функций комплексных переменных. Например, рассмотрим функцию f(z) = |z| ² . Эта функция имеет u(x, y) = x ² + y ² и v(x, y) = 0. Следовательно, уравнения Коши–Римана выполняются только в начале координат на комплексной плоскости.