Представление фиксированной точки

Опубликовано: 28 Января, 2023

Действительные числа имеют дробную составляющую. В этой статье объясняется метод представления вещественных чисел с использованием фиксированных точек. В цифровой обработке сигналов (DSP) и игровых приложениях, где производительность обычно важнее точности, широко используется кодирование данных с фиксированной точкой.

Двоичная точка: Дробные значения, такие как 26,5, представлены с использованием концепции двоичной точки. Десятичная точка в десятичной системе счисления и двоичная точка сопоставимы. Он служит разделителем между целой и дробной частями числа.

Например, вес коэффициента 6 в числе 26,5 равен 10 ⁰ , или 1. Вес коэффициента 5 равен 10 ^-1 или (5/10 = 1/2 = 0,5).

2 * 10¹ + 6 * 10⁰ + 5 * 10^-1= 26.5
2 * 10 + 6 * 1 + 0.5 = 26.5

«Двоичная точка» может быть создана с использованием нашего двоичного представления и той же концепции десятичной точки. Двоичная точка, как и в десятичной системе, представляет собой коэффициент выражения 2 ⁰ = 1. Вес каждой цифры (или бита) слева от двоичной точки равен 2 ⁰ , 2 ¹ , 2 ² и т. д. . Самые правые цифры (или биты) двоичной точки имеют веса ^2-1 , ^2-2 , ^2-3 и так далее.

Для иллюстрации номер 11010.1 ₂представляет значение:

11010.1₂
= 1 * 2⁴ + 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0* 2⁰ + 1 * 2^-1
= 16 + 8 + 2 + 0.5
= 26.5

Схема переключения:

Когда целое число сдвигается вправо на один бит в двоичной системе, это сравнимо с делением на два. Поскольку мы не можем представить цифру справа от двоичной точки в случае целых чисел, поскольку нет дробной части, эта операция сдвига представляет собой целочисленное деление.

Число всегда делится на два, когда битовая комбинация числа сдвинута вправо на один бит.
Число умножается на два, когда оно сдвигается влево на один бит.

Как написать число с фиксированной точкой?

Понимание представления чисел с фиксированной точкой требует знания процесса сдвига, описанного выше. Просто неявно установив, что двоичная точка находится в определенном месте числа, мы можем определить тип числа с фиксированной точкой для представления действительного числа в компьютерах (или любом оборудовании в целом). Затем мы будем просто использовать этот неявный стандарт для выражения чисел.

Два аргумента — это все, что требуется для теоретического создания типа с фиксированной точкой:

Ширина представления числа.
Позиция двоичной точки в числе.

обозначение fixed<w, b>, где «w» обозначает общее количество используемых битов (разрядность числа), а «b» обозначает положение двоичной точки, считая от младшего значащего бита (отсчитывая от 0 ).

Беззнаковое представление:

Например, fixed<8,3> означает 8-битное число с фиксированной запятой, крайние правые 3 бита которого являются дробными.

Представление действительного числа:

00010.1102
= 1 * 2¹ + 1 * 2^-1 + 1 * 2^-2
= 2 + 0.5 + 0.25
= 2.75

Подписанное представление:

Отрицательные целые числа в двоичных системах счисления должны быть закодированы с использованием представлений чисел со знаком. В математике отрицательные числа обозначаются знаком минус («-») перед ними. Напротив, числа представлены исключительно в виде последовательностей битов в компьютерном оборудовании без дополнительных символов.

Двоичные числа со знаком (+ve или -ve) могут быть представлены одним из трех способов:

Форма знак-величина
форма дополнения 1
форма дополнения 2

Форма «знак-величина» : в форме «знак-величина» знак числа представлен MSB (старший значащий бит, также называемый крайним левым битом), а его величина показана оставшимися битами (в случае 8-битного представления крайний левый бит). является битом знака, а остальные биты являются битом величины).

55 ₁₀ = 00110111₂
−55 ₁₀ = 10110111₂

Форма дополнения до 1 : Дополняя каждый бит в двоичном целом со знаком, можно получить дополнение числа до 1. Результатом является отрицательное число, когда положительное число дополняется 1. Аналогично этому, дополнение отрицательного числа на 1 приводит к положительному числу.

55 ₁₀ = 00110111₂
−55 ₁₀ = 11001000₂

Форма дополнения до 2 : добавляя единицу к дополнению до 1 двоичного числа со знаком, двоичное число можно преобразовать в дополнение до 2. Таким образом, дополнение положительного числа до 2 дает отрицательное число. Дополнение отрицательного числа двумя дает положительное число.

55 ₁₀ = 11001000 + 1 (1’s complement + 1 = 2’s complement)
-55 ₁₀ = 11001001 ₂

Представление отрицательного числа с фиксированной точкой:

Рассмотрим число -2,5, фиксированная ширина <w,b> = 4 бита, двоичная точка = 1 бит (предположим, что двоичная точка находится в позиции 1). Сначала представьте 2,5 в двоичном виде, затем найдите его дополнение до 2, и вы получите двоичное представление с фиксированной точкой -2,5.

2.5 ₁₀ = 0101 ₂
-2.5 ₁₀ = 1010 ₂ + 1 (1’s complement + 1 = 2’s complement)
-2.5 ₁₀ = 1011 ₂

Диапазон представления дополнения 1:

Один бит по существу используется в качестве бита знака для чисел в дополнении к 1, оставляя вам только 7 битов для хранения фактического числа в 8-битном числе.

Следовательно, самое большое число равно 127 (для большего числа потребуется 8 бит, что делает его отрицательным числом).

Наименьшая цифра, вероятно, также будет -127 или -128.

1’s complement:
127 = 01111111 : 1s complement is 10000000
128 = 10000000 : 1s complement is 01111111

Мы видим, что сохранение -128 в дополнении до 1 невозможно (поскольку старший бит не установлен и выглядит как положительное число)

Диапазон дополнения до 1 составляет от -127 до 127.

Диапазон представления дополнения до 2:

Кроме того, один бит в числах с дополнением до 2 эффективно используется в качестве бита знака, оставляя вам только 7 бит для хранения фактического числа в 8-битном целом числе.

2’s complement:
127 = 01111111 : 2s complement is 10000001
128 = 10000000 : 2s complement is 10000000

мы можем видеть, что мы можем хранить -128 в дополнении 2s.

Диапазон дополнения до 2 – от -128 до 127.

Преимущества представления с фиксированной точкой:

Целочисленное представление и числа с фиксированной точкой действительно являются близкими родственниками.
Из-за этого числа с фиксированной точкой также можно вычислять, используя все арифметические операции, которые компьютер может выполнять над целыми числами.
Они так же просты и эффективны, как компьютерная целочисленная арифметика.
Для выполнения арифметических операций с вещественными числами с использованием формата с фиксированной запятой мы можем повторно использовать все оборудование, предназначенное для арифметических операций с целыми числами.

Недостатки представления с фиксированной точкой:

Потеря диапазона и точности по сравнению с представлениями чисел с плавающей запятой.

Компьютеры