Многомерная оптимизация и ее типы - Data Science

Опубликовано: 20 Июля, 2021

Википедия определяет оптимизацию как проблему, при которой вы максимизируете или минимизируете реальную функцию, систематически выбирая входные значения из разрешенного набора и вычисляя значение функции. Это означает, что когда мы говорим об оптимизации, мы всегда заинтересованы в поиске лучшего решения. Итак, предположим, что у человека есть некоторая функциональная форма (например, в форме f (x)), и он пытается найти лучшее решение для этой функциональной формы. Что значит лучше всего? Можно сказать, что он заинтересован в минимизации этой функциональной формы или в максимизации этой функциональной формы.
Как правило, задача оптимизации состоит из трех компонентов.

минимизировать f (x),
по x,
при условии a <x <b

где, f (x): целевая функция
x: переменная решения
a <x <b: ограничение

В зависимости от количества переменных решения оптимизацию можно разделить на две части:

  1. Задачи одновариантной оптимизации: Однозначная оптимизация может быть определена как нелинейная оптимизация без ограничений, и в этой оптимизации есть только одна переменная решения, для которой мы пытаемся найти значение.

    мин f (x)
    по x
    x ∈ R

  2. Задачи многомерной оптимизации: в задаче многомерной оптимизации должно быть более одной переменной решения в этой оптимизации, для которой мы пытаемся найти значение.

    min f (x 1 , x 2 , x 3 … ..x n )

Что такое многомерная задача оптимизации?

В задаче многомерной оптимизации есть несколько переменных, которые действуют как переменные решения в задаче оптимизации.

z = f (x 1 , x 2 , x 3 … ..x n )

Итак, когда вы смотрите на эти типы проблем, общая функция z может быть некоторой нелинейной функцией переменных решения от x 1 , x 2 , x 3 до x n . Итак, есть n переменных, которыми можно манипулировать или выбирать для оптимизации этой функции z. Обратите внимание, что можно объяснить одномерную оптимизацию, используя изображения в двух измерениях, потому что в направлении x у нас было значение переменной решения, а в направлении y - значение функции. Однако, если это многомерная оптимизация, тогда мы должны использовать изображения в трех измерениях, и если переменные решения больше 2, тогда это трудно визуализировать.

Типы многомерной оптимизации:
В зависимости от ограничений многомерная оптимизация может быть разделена на три части:

  1. Безусловная многомерная оптимизация
  2. Многомерная оптимизация с ограничением равенства
  3. Многомерная оптимизация с ограничением неравенства
  1. Неограниченная многомерная оптимизация: как следует из названия, многомерная оптимизация без ограничений известна как неограниченная многомерная оптимизация.
    Пример :
    мин. x 1 + 2x 2 - x 1 x 2 + 2x 2 2
  2. Многовариантная оптимизация с ограничением равенства: в математике равенство - это отношение между двумя величинами или, в более общем смысле, двумя математическими выражениями, утверждающее, что величины имеют одинаковое значение или что выражения представляют один и тот же математический объект. Итак, если задана целевая функция с более чем одной переменной решения и имеющей ограничение равенства, то это называется так.
    Пример :
    мин 2x 1 2 + 4x 2 2
    ул
    1 + 2х 2 = 12

    Здесь x 1 и x 2 - две переменные решения с ограничением равенства 3x 1 + 2x 2 = 12.

  3. Многомерная оптимизация с ограничением неравенства: в математике неравенство - это отношение, которое выполняет неравное сравнение между двумя числами или другими математическими выражениями. Чаще всего используется для сравнения двух чисел в числовой строке по их размеру. Есть несколько различных обозначений, используемых для обозначения различных видов неравенства. Среди них <,>, ≤, ≥ - популярные обозначения для обозначения различных видов неравенств. Таким образом, если задана целевая функция с несколькими переменными решения и ограничением неравенства, то это называется так.
    Пример :
    мин 2x 1 2 + 4x 2 2
    ул
    1 + 2х 2 ≤ 12

    Здесь x 1 и x 2 - две переменные решения с ограничением неравенством 3x 1 + 2x 2 ≤ 12.