Свойства вероятности

Вероятность — это раздел математики, определяющий вероятность того, что событие может произойти. Значение вероятности находится в диапазоне от 0 до 1. Ноль (0) указывает на невозможное событие, а Единица (1) указывает на то, что оно непременно произойдет. Есть несколько свойств вероятности, которые упомянуты ниже:

Свойства вероятности

1. Вероятность события можно определить как количество благоприятных исходов события, деленное на общее число возможных исходов события.

Probability(Event)=(Number of favorable outcomes of an event) / (Total Number of possible outcomes)

Пример: Какова вероятность выпадения решки при подбрасывании монеты?

Решение:

Number of Favorable Outcomes- {Tail} = 1
Total Number of possible outcomes- {Head, Tail} - 2
Probability of getting Tail= 1/2 = 0.5

2. Вероятность определенного/определенного события равна 1.

Пример: Какова вероятность того, что при броске игральной кости выпадет число от 1 до 6?

Решение:

Number of favorable outcomes- {1,2,3,4,5,6} = 6
Total Possible outcomes- {1,2,3,4,5,6} = 6
Probability of getting a number between 1 to 6= 6/6 = 1
Probability is 1 indicates it is a certain event.

3. Вероятность невозможного события равна нулю (0).

Пример: Какова вероятность того, что при броске игральной кости выпадет число больше 6?

Решение:

Number of favorable outcomes - {} = 0
Total possible outcomes - {1,2,3,4,5,6} = 6
Probability(Number>6) = 0/6 = 0
Probability Zero indicates impossible event.

4. Вероятность события всегда лежит между 0 и 1. Она всегда положительна.

0 <= Probability(Event) <= 1

Пример: мы можем заметить, что во всех приведенных выше примерах вероятность всегда находится между 0 и 1.

5. Если A и B — два события , которые называются взаимоисключающими, то P(AUB) = P(A) + P(B).

Примечание. Два события являются взаимоисключающими, если 2 события не могут произойти одновременно.

Пример: Вероятность выпадения орла и решки при подбрасывании монеты относится к взаимоисключающим событиям.

Решение:

To solve this we need to find probability separately for each possibility. 
i.e, Probability of getting head and Probability of getting tail and sum of those to get P(Head U Tail). 
P(Head U Tail)= P(Head) + P(Tail) = (1/2)+(1/2) = 1

6. Элементарное событие — это событие, имеющее только один исход. Эти события также называются атомарными событиями или точками выборки . Сумма вероятностей таких элементарных событий эксперимента всегда равна 1.

Пример: когда мы подбрасываем монету, возможный результат — орёл или решка. Эти отдельные события, т.е. только начало или только конец выборочного пространства, называются элементарными событиями.

Решение:

Probability of getting only head=1/2
Probability of getting only tail=1/2
So, sum=1.

7. Сумма вероятностей дополнительных событий равна 1.

P(A)+P(A’)=1

Пример: когда подбрасывается монета, вероятность выпадения вперед составляет 1/2, а дополнительным событием для прорыва является выпадение решки, поэтому вероятность выпадения решки равна 1/2.

Решение:

If we sum those two then,
P(Head)+P(Head")=(1/2)+(1/2)=1
Head"= Getting Tail

8. Если A и B — два события , которые не являются взаимоисключающими, то

• П(АУБ)=П(А)+П(В)-П(А∩В)
• П(А∩В)=П(А)+П(В)-П(АУБ)

Примечание: говорят, что 2 события не исключают друг друга, если они имеют хотя бы один общий исход.

Пример: Какова вероятность того, что при броске игральной кости выпадет четное число или меньше 4?

Решение:

Favorable outcomes of getting even number ={2,4,6}
Favorable outcomes of getting number<4 ={1,2,3}
So, there is only 1 common outcome between two events so these two events are not mutually exclusive.

So, we can find P(Even U Number<4)= P(Even) + P(Number<4) - P(Even ∩ Number<4)

P(Even)=3/6=1/2
P(Number<4)=3/6=1/2
P(Even ∩ Number<4)=1/6    (Common element)
P(Even U Number<4)=(1/2) +(1/2)-(1/6)=1-(1/6)=0.83

9. Если E ₁ ,E ₂ ,E ₃ ,E ₄ ,E ₅ ,………EN являются взаимоисключающими событиями, то Вероятность(E ₁ UE ₂ UE ₃ UE ₄ UE _{5 U……UE N )} =P(E ₁ )+P(E ₂ )+P(E ₃ )+P(E ₄ )+P(E ₅ )+…….+P(E _N ).

Пример: Какова вероятность того, что при броске игральной кости выпадет 1, 2 или 3 числа.

Решение:

Let A be the event of getting 1 when a die is rolled.
Favorable outcome- {1}
Let B be the event of getting 2 when a die is rolled.
Favorable outcome- {2}
Let C be the event of getting 3 when a die is rolled.
Favorable outcome- {3}
No common favorable outcomes. 

Итак, А, В, С — взаимоисключающие события.

Согласно приведенному выше правилу вероятности - P (AUBUC) = P (A) + P (B) + P (C)

P(A)=1/6
P(B)=1/6
P(C)=1/6
P(A U B U C)=(1/6)+(1/6)+(1/6)=3/6=1/2

Это главные основные свойства вероятности.