Функционально завершенные операции

Предпосылка - функциональная полнота
Функция переключения выражается двоичными переменными, символами логических операций и константами 0 и 1. Когда каждая функция переключения может быть выражена посредством операций в ней, тогда только набор операций называется функционально завершенным.

1. Набор (И, ИЛИ, НЕ) является функционально полным набором.
2. Набор (И, НЕ) называется функционально полным.
3. Набор (ИЛИ, НЕ) также называется функционально полным.

Здесь,
Набор (И, НЕ) называется функционально полным, поскольку (ИЛИ) может быть получено с помощью операций «И» и «НЕ».
Пример:

 (X + Y) = (X'.Y ')'
X '= дополнение X.
Y '= комплимент Y.

Набор (ИЛИ, НЕ) называется функционально полным, поскольку (И) может быть получено с помощью операций «ИЛИ» и «НЕ».
Пример:

 (XY) = (X '+ Y') '

Примечание:
Функция может быть полностью функционально завершенной, частично функционально завершенной или вовсе не функционально завершенной.

• Пример-1:
  Если функция f (X, Y, Z) = (X '+ YZ'), то проверьте, является ли она функционально полной или нет?
  Положите Z = Y в приведенную выше функцию,
  Следовательно,

   f (X, Y, Y) = (X '+ YY')
            = (X '+ 0), поскольку Y.Y' = 0
            = X '(Это комплимент, т.е. НЕ)

  Опять же, положите X = X 'и Z = Y' в приведенную выше функцию,
  Следовательно,

   f (X ', Y, Y') = (X ')' + Y (Y ')'
             = (X + YY), поскольку (X ')' = X и (Y ')' = Y
             = (X + Y), поскольку, YY = Y (это оператор ИЛИ)

  Таким образом, вы можете выводить операторы NOT и OR из вышеуказанной функции, так что эта функция полностью функционально завершена.

• Пример-2:
  Если функция f (X, Y) = (X'Y), то проверьте, является ли она функционально полной или нет?
  Положим X = (X '),
  Следовательно,

   f (X ', Y) = (X') '. Y = XY (это оператор И)

  Здесь оператор AND получен, теперь вам нужно получить оператор NOT, чтобы сделать его функционально завершенным.
  Если вы положите Y = 1,

   Тогда f (X, 1) = (X '), это НЕ оператор.

  Таким образом, эта функция частично функционально завершена, так как вам нужно (1) для получения оператора NOT.
  Примечание: всякий раз, когда вы прибегаете к помощи констант (1 и 0), чтобы сделать функцию функционально завершенной, эта функция называется частично завершенной функцией.

• Пример-3:
  Если функция f (X, Y, Z) = (XY + YZ + ZX), то проверьте, является ли эта функция функционально полной или нет?
  Чтобы сделать функцию функционально завершенной, необходимо получить оператор NOT, но здесь нет дополнений в функции, поэтому невозможно получить оператор NOT.

  Таким образом, эта функция отнюдь не является функционально полной.