Докажите, что всякая циклическая группа является абелевой группой.

Группы, подгруппы, кольца, поля, области целостности, графы, деревья, множества разрезов и т. д. являются одними из наиболее важных понятий дискретной математики. В этой статье мы собираемся обсудить и доказать, что каждая циклическая группа является абелевой группой. Прежде чем перейти к доказательству, давайте сначала разберемся с некоторыми основными терминами, например, что такое абелева группа, циклическая группа и т. д.

Абелева группа: В группе G, если для всех a, b ∈ G таких, что a∗b = b∗a, эта группа называется абелевой группой .

Неабелева группа: В группе G, если для всех a, b ∈ G таких, что a ∗ b ≠ b ∗ a, то группа ( G, ∗ ) называется неабелевой группой.

Циклическая группа:

Группа G становится циклической группой, если существует элемент a ∈ G, такой что каждый элемент G имеет вид ^an , где n — любое целое число. Элемент a называется генератором группы G, а G называется циклической группой, порожденной элементом a, и обозначается через G = <a>.

Пример циклической группы:

1. Мультипликативная группа G = { 1, -1, i, -i } циклически порождена i и -i.

(i)0 = 1
(i)1 = i
(i)2 = -1
(i)3 = -i

2. Аддитивная группа целых чисел Z — это бесконечная циклическая группа, порожденная 1 и -1.

Доказательство: нам нужно доказать, что каждая циклическая группа является абелевой группой. Возьмем циклическую группу

Предположим, что G — циклическая группа, порожденная a.

Возьмем два элемента x & y ∈ G.

Suppose, x = am & y = an for some integers m, n.

Теперь произведение этих двух элементов равно

xy = am . an                                            
xy = am+n
xy = an+m
xy = an . am
⇒ xy = yx

⇒ xy = yx, что показывает, что эта циклическая группа является абелевой группой (поскольку она удовлетворяет условию абелевой группы (a ∗ b = b ∗ a))

Следовательно, G — абелева группа .

Отсюда доказано, что всякая циклическая группа является абелевой группой.