Дерево Прото Ван Эмде Боас | Набор 5 | Запросы: минимум, максимум

Опубликовано: 13 Января, 2022

Пожалуйста, сначала проверьте предыдущие выпуски статьи о дереве Прото Ван Эмде Боаса. Настоятельно рекомендуется.

Порядок нахождения минимума:

  1. Базовый случай: если размер Proto-VEB равен 2, мы вернем наименьший ключ, присутствующий в кластере, если ключи отсутствуют, тогда мы вернем -1 как символ отсутствия ключей.
  2. Рекурсия:
    • Мы начнем рекурсию поверх сводки, пока не достигнем первого истинного значения (в коде сначала не nullptr в сводном кластере), которое показывает, что в этом кластере присутствует ключ.
    • Теперь мы найдем положение ключа в этом кластере, снова используя рекурсивный вызов кластера, чтобы найти первое истинное значение (в коде сначала не nullptr в кластере) в кластере, как мы это делали выше.
    • Наконец, мы вернем индекс этого ключа в соответствии с номером кластера, полученным из процедуры по сводке, и положением, полученным из процедуры по кластеру на последнем шаге.

См. Изображение ниже, чтобы получить общее представление об операции:

Обратите внимание на светло-зеленые кружки сверху вниз:

См. Изображение ниже для реальных минимальных операций Proto - VEB:

Следуйте инструкциям в порядке нумерации.

Вы можете легко получить представление о максимуме из процедуры минимума. См. Изображение ниже:

Обратите внимание на светло-зеленые кружки сверху вниз:

Implementation of the above algorithm:

// C++ implementation of the approach
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
  
class Proto_Van_Emde_Boas {
public:
    // Total number of keys
    int universe_size;
  
    // Summary
    Proto_Van_Emde_Boas* summary;
  
    // Clusters array of Proto-VEB pointers
    vector<Proto_Van_Emde_Boas*> clusters;
  
    int root(int u)
    {
        return int(sqrt(u));
    }
  
    // Function to return cluster numbers
    // in which key is present
    int high(int x)
    {
        return x / root(universe_size);
    }
  
    // Function to return position of x in cluster
    int low(int x)
    {
        return x % root(universe_size);
    }
  
    // Function to return the index from
    // cluster number and position
    int generate_index(int cluster, int position)
    {
        return cluster * root(universe_size) + position;
    }
  
    // Constructor
    Proto_Van_Emde_Boas(int size)
    {
        universe_size = size;
  
        // Base case
        if (size <= 2) {
  
            // Set summary to nullptr as there is no
            // more summary for size 2
            summary = nullptr;
  
            // Vector of two pointers
            // nullptr in starting
            clusters = vector<Proto_Van_Emde_Boas*>(size, nullptr);
        }
        else {
  
            // Assiging Proto-VEB(sqrt(u)) to summary
            summary = new Proto_Van_Emde_Boas(root(size));
  
            // Creating array of Proto-VEB Tree pointers of size sqrt(u)
            // first all nullptrs are going to assign
            clusters = vector<Proto_Van_Emde_Boas*>(root(size), nullptr);
  
            // Assigning Proto-VEB(sqrt(u)) to all its clusters
            for (int i = 0; i < root(size); i++) {
                clusters[i] = new Proto_Van_Emde_Boas(root(size));
            }
        }
    }
};
  
// Function that returns true if the
// key is present in the tree
bool isMember(Proto_Van_Emde_Boas* helper, int key)
{
  
    // If key is greater then universe_size then
    // returns false
    if (key >= helper->universe_size)
        return false;
  
    // If we reach at base case
    // the just return whether
    // pointer is nullptr then false
    // else return true
    if (helper->universe_size == 2) {
        return helper->clusters[key];
    }
    else {
  
        // Recursively go deep into the
        // level of Proto-VEB tree using its
        // cluster index and its position
        return isMember(helper->clusters[helper->high(key)],
                        helper->low(key));
    }
}
  
// Function to insert a key in the tree
void insert(Proto_Van_Emde_Boas*& helper, int key)
{
    // If we reach at base case
    // then assign Proto-VEB(1) in place
    // of nullptr
    if (helper->universe_size == 2) {
        helper->clusters[key] = new Proto_Van_Emde_Boas(1);
    }
    else {
  
        // Recursively using index of cluster and its
        // position in cluster
        insert(helper->clusters[helper->high(key)],
               helper->low(key));
  
        // Also do the same recusion in summary VEB
        insert(helper->summary, helper->high(key));
    }
}
  
// Function to return the minimum key from the tree
int minimum(Proto_Van_Emde_Boas* helper)
{
    // Base case choses the least key
    // present in the cluster
    if (helper->universe_size == 2) {
        if (helper->clusters[0]) {
            return 0;
        }
        else if (helper->clusters[1]) {
            return 1;
        }
  
        // No keys present then return -1
        return -1;
    }
    else {
  
        // Recursively find in summary for
        // first 1 present in Proto-VEB
        int minimum_cluster = minimum(helper->summary);
        int offset;
  
        // If no key is present in
        // the cluster then return -1
        if (minimum_cluster == -1) {
            return -1;
        }
        else {
  
            // Recursively find the position of the key
            // in the minimum_cluster
            offset = minimum(helper->clusters[minimum_cluster]);
  
            // Returns overall index of minimum key
            return helper->generate_index(minimum_cluster, offset);
        }
    }
}
  
// Function to return the maximum key from the tree
int maximum(Proto_Van_Emde_Boas* helper)
{
  
    // Return the maximum key present in
    // the cluster
    if (helper->universe_size == 2) {
        if (helper->clusters[1]) {
            return 1;
        }
        else if (helper->clusters[0]) {
            return 0;
        }
  
        // Return -1 if no keys present in the
        // cluster
        return -1;
    }
    else {
  
        // Recursively find the last 1 present
        // in the summary
        int maximum_cluster = maximum(helper->summary);
        int offset;
  
        // If no key is present in
        // the cluster then return -1
        if (maximum_cluster == -1) {
            return -1;
        }
        else {
  
            // Recursively find the position of the key
            // in the maximum_cluster
            offset = maximum(helper->clusters[maximum_cluster]);
            return helper->generate_index(maximum_cluster, offset);
        }
    }
}
  
// Function to delete a key from the tree
void pveb_delete(Proto_Van_Emde_Boas*& helper, int key)
{
  
    // Base case: If the key is present
    // then make it nullptr
    if (helper->universe_size == 2) {
        if (helper->clusters[key]) {
            delete helper->clusters[key];
            helper->clusters[key] = nullptr;
        }
    }
    else {
  
        // Recursive delete to reach at the base case
        pveb_delete(helper->clusters[helper->high(key)], helper->low(key));
  
        bool isanyinCluster = false;
  
        // Iterate over the cluster of keys to check whether
        // any other key is present within that cluster
        // If yes then we should not update summary to 0
        // else update summary to 0
        for (int i = helper->high(key) * helper->root(helper->universe_size);
             i < (helper->high(key) + 1) * helper->root(helper->universe_size);
             i++) {
  
            // If member is present then break the loop
            if (isMember(helper->clusters[helper->high(key)], i)) {
                isanyinCluster = true;
                break;
            }
        }
  
        // If no member is present then
        // update summary to zero
        if (isanyinCluster == false) {
            pveb_delete(helper->summary, helper->high(key));
        }
    }
}
  
// Driver code
int main()
{
    Proto_Van_Emde_Boas* hello = new Proto_Van_Emde_Boas(4);
  
    cout << boolalpha;
  
    insert(hello, 2);
  
    insert(hello, 3);
  
    cout << minimum(hello) << endl;
  
    cout << maximum(hello) << endl;
}

И минимальный, и максимальный запрос выполняется с временной сложностью O (log2 (u)).

Отношение повторения:

 Т (и) = 2Т (  ) + O (1)

Вниманию читателя! Не прекращайте учиться сейчас. Освойте все важные концепции DSA с помощью самостоятельного курса DSA по приемлемой для студентов цене и будьте готовы к работе в отрасли. Чтобы завершить подготовку от изучения языка к DS Algo и многому другому, см. Полный курс подготовки к собеседованию .

Если вы хотите посещать живые занятия с отраслевыми экспертами, пожалуйста, обращайтесь к Geeks Classes Live и Geeks Classes Live USA.