Задачи на электромагнитную индукцию

Электромагнетизм представляет собой комбинацию двух разных явлений, т.е. электричества и магнетизма. Электричество и магнетизм взаимосвязаны, когда электрические заряды движутся по проводнику, они создают магнитные поля. Обратное также возможно. В 1830 году Майкл Фарадей в Англии и Джозеф Генри в США провели эксперимент и эффективно продемонстрировали, что электрические токи индуцируются в замкнутых катушках, когда они помещаются в изменяющееся магнитное поле.

The phenomenon in which electric current is generated by varying magnetic fields is appropriately called electromagnetic induction.

При возникновении электрического тока в замкнутом проводящем контуре изменяется поток магнитного поля через поверхность, замкнутую этим контуром. Это явление называется электромагнитной индукцией, а ток производится индуцированным током. Электромагнитная индукция также называется магнитной индукцией, так как принцип один и тот же, независимо от того, осуществляется ли процесс с помощью электромагнитных или статических магнитов.

Майкл Фарадей в 1830 году открыл электромагнитную индукцию и продемонстрировал ее с помощью медной катушки вокруг тороидального куска железа, гальванометра (прибор на основе манометра, используемый в настоящее время для показа) и магнита. Когда магнит двигался по направлению к катушке, создавалась ЭДС, и двигался датчик на гальванометре. Если приблизить северный конец магнита, ток течет в одну сторону, а если приблизить южный конец магнита, то ток течет в противоположном направлении. Это открытие электромагнитной индукции было фундаментальным принципом в понимании и использовании электричества.

Принцип электромагнитной индукции требуется в электронных компонентах, таких как катушки индуктивности и трансформаторы. Электромагнитная индукция лежит в основе всех типов электрических генераторов и двигателей.

Решенные задачи об электромагнитной индукции

Задача 1. Короткая петля площадью 4,0 см ² помещается внутрь длинного соленоида с 10 витками на см перпендикулярно оси соленоида. Чему равна ЭДС индукции в контуре при установившемся изменении тока, несущего соленоид, от 2,0 А до 4,0 А в течение 0,5 с?

Решение:

The magnetic field produced inside the solenoid,

B = μ₀nI

Suppose the area of the loop placed inside the solenoid is A then the magnetic flux linked with the loop, 

φ = BA 
   = μ₀nIA

e is the induced e.m.f. produced due to change in current through the solenoid, then,

e = dφ / dt = d/dt [μ₀nIA]

Or, e = -μ₀ × n × A × dI/dt

Number of turns per unit length of the solenoid (n) = 10 turns cm^-1 = 1000 turns m^-1

A = 4cm² = 4 × 10^-4m²

dI/dt = 4-2/0.5 = 4 As^-1

Therefore, e = -4π × 10^-7 × 1000 × 4 × 10^-4 × 4

= -2 × 10^-6V.

Задача 2. Прямоугольная проволочная петля со сторонами 10 см и 5 см с небольшим разрезом выходит из области однородного магнитного поля величиной 0,2 Тл, направленного нормально к петле. Какова ЭДС, развиваемая поперек разреза, если скорость петли равна 5 см с ^-1 в направлении, нормальном к (i) более длинной стороне и (ii) более короткой стороне петли? В каждом случае определяют период времени индуцированного напряжения.

Решение:

Given:

Length of the wired loop (I) = 10 cm = 0.1 m

Width of the wired loop (b) = 5 cm = 0.05 m

Area of loop, A = l×b = 0.1 × 0.05 = 5 × 10^-3m²

Strength of magnetic field (B) = 0.2T

Velocity of the loop (v) = 5 cm/s = 0.05 m/s

(i) EMF developed in the loop (e) = Blv

                                                                    = 0.2 x 0.1 x 0.05 = 1 × 10^-3 V

Time required to travel along the width (t) = Distance travelled / Velocity  =  b/v

                                                                  = 0.05/0.05 = 1s

Hence, the induced voltage is 1 × 10^-3 V which lasts for 1 s. 

(ii) EMF developed (e) = Bbv

                                    = 0.2 × 0.05 × 0.05 = 5 × 10^-4 V

Time required to travel along the length, t’ = l/v

                                                                   = 0.1 / 0.05 = 2 s.

Therefore, the induced voltage is 5 x 10^-4 V which lasts for 2 s.

Задача 3: когда угловая частота 350 рад с-1 применяется к вращению металлического стержня длиной 3,0 м вдоль оси, проходящей через один конец стержня. Другой конец стержня соприкасается с металлическим кольцом круглой формы. Везде имеется постоянное и однородное магнитное поле напряженностью 0,2 Тл, параллельное оси. Определить ЭДС, которая возникла между центром и кольцом.

Решение:

Given: 

Length of the rod (l) = 3m

Angular frequency (ω) = 350 rad/s

Magnetic field strength, B = 0.2 T

Average linear velocity (v) = (Iω + 0)/2 = Iω/2

e = Blv = Bl (Iω / 2)  =  (Bl²ω) / 2

   = (0.2 × 3² × 350) / 2 

   = 315 V

Задача 4. Круглая катушка радиусом 10 см и 50 витками вращается вокруг своего вертикального диаметра с угловой скоростью 20 рад с ^-1 в однородном горизонтальном магнитном поле величиной 5,0 × 10 ^-2 Тл. Определить максимальную и среднюю ЭДС наводится в катушке. Если катушка образует замкнутый контур с сопротивлением 20 Ом, рассчитывается максимальное значение тока в катушке. Рассчитайте средние потери мощности из-за джоулевого нагрева. Откуда берется эта сила?

Решение:

Given:

Max emf induced = 0.603 V

Average emf induced = 0 V

Max current in the coil = 0.0603 A

Average power loss = 0.018 W

(Power which is coming from external rotor)

Circular coil radius (r) = 10 cm = 0.1 m

Area of the coil (A) = πr² = π × (0.1)² m²

Number of turns on the coil (N) = 50

Angular speed (ω) = 20 rad/s

Strength of magnet (B) = 5 × 10^-2 T

Total resistance produced by the loop (R) = 20 Ω

Maximum induced emf is given as:

e = N ω A B

   = 50 × 20 × π × (0.1)² × 5 × 10^-2

   = 1.57 V

The maximum emf induced in the coil is 1.57 V.

Maximum current is given as :

I = e/R

  = 1.57 / 20  =  0.0785 A

Average power loss due to Joule heating:

P = el / 2

   = (1.57 x 0.0785) / 2  =  0.06162 W

Задача 5. Горизонтальный прямой провод длиной 50 м, идущий с востока на запад, падает со скоростью 1,0 мс ^-1 под прямым углом к горизонтальной составляющей магнитного поля Земли, равной 0,60 х ^10-4 Вб м ^-2 .

а) Чему равно мгновенное значение электродвижущей силы, индуцируемой в проводе?

б) Как направлена электродвижущая сила?

в) Определите, какой конец провода имеет больший электрический потенциал?

Решение:

Given: 

Wire’s Length (l) = 50 m 

Speed of the wire with which it is falling (v)= 1.0 m/s

Strength of magnetic field (B) = 0.6 × 10^-4 Wbm^-2

(a) EMF induced in the wire (e) = Blv

= 0.6 × 10^-4 × 1 × 50

= 3 × 10^-3 V

(b) Using Fleming’s right hand rule, it can be inferred that the direction of the induced emf if from West to East.

(c) The west end of the wire is at a higher potential. 

Задача 6. Ток в цепи падает с 7,0 А до 0,0 А за 0,3 с. Если индуцируется средняя ЭДС 500 В, дайте оценку собственной индуктивности цепи.

Решение:

Given: 

Initial current (I₁) : 7 A

Final current (I₂) : 0 A

Change in current (dl) = I₁ – I₂ = 7A

Total time (t) = 0.3 s 

Average EMF (e) = 500 V

For self inductance (L) of the coil, we have the relation for average emf as: 

e = L (di/dt)

L = e / (di/dt)

L = 500 / (7/0.3)

L = 21.4286 H

Thus, the self inductance of the coil is 21.4286 H.

Задача 7. Пара соседних катушек имеет взаимную индуктивность 3 Гн. Если ток в одной катушке изменяется от 0 до 50 А за 0,8 с, как изменится потокосцепление с другой катушкой?

Решение:

Given:

Mutual inductance (μ) = 3 H

Initial current (I₁) = 0 A

Final current (I₂) = 50 A

Therefore, change in current is (dl)= I₂ – I₁ = 50 – 0 = 50 A

Time taken (t) = 0.8 seconds

The mutual conductance of the circuit can be given by, 

e = μ (dI/dt)       

μ = e/(dI/dt)  

we know, e = dφ/dt

dφ/dt  =  μ (dI/dt) 

dφ  =  3 × (50) 

dφ  =  150 Wb

Задача 8: Самолет летит на запад со скоростью 1500 км/ч. Какова разность напряжений, развиваемая между концами крыла с размахом 32 м, если магнитное поле Земли в этом месте имеет величину 5 х 10 ^-4 Тл и угол наклона 60 ^°?

Решение:

Given:

Speed of plane (v) = 1500 km/h = 1500 × (5 / 18) = 416.67 m/s

Distance between the ends of the wings (l) = 32m

Magnetic field strength by earth (B) = 5 × 10^-4 T

Dip angle (δ) = 60^o

Vertical component of Earth’s magnetic field, 

B_v = B sin δ

     =5 × 10^-4 sin 60^o

     = 4.33 × 10^-4 T

motional emf (e) = (B_v) × l × v

   = 4.33 × 10^-4 × 32 × 416.67

e = 5.773 V

Задача 9: Предположим, что петля в задаче 2 стационарна, но ток, питающий электромагнит, создающий магнитное поле, постепенно уменьшается, так что поле уменьшается от своего начального значения 0,5 Тл со скоростью 0,06 Тл с ^-1 . Если разрез соединен и петля имеет сопротивление 2,3 Ом, какая мощность рассеивается петлей в виде тепла? Каков источник этой силы?

Решение:

Given:

Rectangular loop with sides 10 cm and 5 cm.

Area of loop (A) = L × B = 10 × 5 

  = 50 cm² 

  = 5 × 10^-3 m²

Magnetic field’s initial value (B) = 0.5T

Magnetic field’s rate of decrease (dB/dt) = 0.06 T/s

Emf induced in the loop is :

e = dφ/dt

dφ = change in flux in the loop area = AB

Therefore, e = d(AB) / dt = AdB / dt

= 5 × 10^-3 × 0.06 = 0.3 × 10^-3 V

Resistance in the loop (R) = 2.3 Ω

The current developed in the loop will be:

i = e/R

  = 0.3 × 10^-3 / 2.3  =  1.3 × 10^-4 A

Power dissipated in the loop in the form of heat is given as:

P = i²R

  = (1.3 × 10^-4)² × 2.3

  = 3.887 × 10^-8 W

Задача 10. В установке с магнитным полем в положительном направлении z квадратная петля со стороной 15 см и сторонами, параллельными осям X и Y, движется со скоростью 6 см с ^-1 в положительное направление х. Поле не постоянно во времени и не однородно в пространстве. Она увеличивается на 10 ^-3 Тл см ^-1 за одно движение в отрицательном направлении x и уменьшается во времени со скоростью 10 ^-3 Тл с ^-1 . Градиент в отрицательном направлении х составляет 10 ^-3 Тл см ^-1 . Если сопротивление контура равно 3,50 мОм, определите величину и направление индуцированного тока в контуре.

Решение:

Given:

Side of the Square loop (s) = 15cm = 0.15 m

Area of the loop, A = s × s = 0.15 × 0.15 = 0.0225 m²

Velocity of the loop (v) = 6 cm s^-1 = 0.06 m s^-1

Gradient of the magnetic field along negative x-direction,

dB/dx = 10^-1m^-1

And, the rate of decrease of the magnetic field, 

dB/dt = 10^-3Ts^-1

Resistance (R) = 3.50 mΩ = 3.5 × 10^-3 Ω

Rate of change of the magnetic flux due to the motion of the loop in a non-uniform magnetic field is given as :

dB/dt = A × dB/dx × v

          = 225 × 10^-4m² × 10^-1 × 0.06

          = 13.5× 10^-5Tm²s^-1

Rate of change of the flux due to explicit time variation in field B is given as:

dφ/dt = A × dB/dt

          = 225 × 10^-4 × 10^-3

          = 2.25 × 10^-5Tm²s^-1

Since the rate of change of the flux is the induced emf, the total induced emf in the loop can be calculated as: 

e = 2.25 × 10^-5 + 13.5 × 10^-5

   = 15.75 × 10^-5V

Therefore, Induced current (i) = e/R = 15.75 × 10^-5 / 3.5 × 10^-3

i = 4.5 × 10^-2 A

Задача 11: Сильный магнит громкоговорителя имеет магнитное поле, необходимо измерить напряженность между его полюсами. Плоская поисковая катушка площадью 4 см ² с 35 плотно намотанными витками немедленно выхватывается из области поля после размещения перпендикулярно направлению поля. В качестве альтернативы можно быстро повернуть его на 90 градусов так, чтобы его плоскость была параллельна направлению поля. Баллистический гальванометр, подключенный к катушке, зафиксировал 7,5 мКл, поскольку полный заряд протекал по катушке. Суммарное сопротивление катушки и гальванометра составляет 0,70 Ом. Рассчитайте напряженность поля магнита.

Решение:

Given: 

Coil’s Area (A) = 4 cm² = 4 × 10^-4 m²

Number of turns on the coil (N) = 35

Total Change in the coil (Q) = 6.5 mC = 6.5 × 10^-3 C

Total Resistance produced (R) = 0.7 Ω

Current generated in the coil,

I = e / R                     …(1)

EMF induced is shown as :

e = -N (dφ/dt)                                …(2)

Where, 

Form equation (1) and (2), we have

I = -N (dφ/dt)  /  R

I dt  =  (-N/R) dφ                

∫I dt = -N/R ∫ dφ

Total Charge, Q = ∫ I dt

Therefore, Q  =  -N/R (φ_f – φ_i)  =  -N/R (-φ_i)  =  +Nφ_i / R

Q = NBA / R

Therefore, B = QR / NA

= (6.5 × 10^-3 × 0.7) / (35 × 4 × 10^-4)= 0.325 T

Задача 12. Соленоид с воздушным сердечником длиной 40 см, площадью поперечного сечения 45 см ² и числом витков 650 пропускает ток силой 3,6 А. Всего за 10 ^-3 с ток резко отключается. . Какова средняя противо-ЭДС, индуцированная в цепи на концах разомкнутого ключа? Изменением магнитного поля вблизи концов соленоида пренебречь.

Решение:

Given, 

Length of solenoid (l) = 40 cm = 0.4 m

Area of solenoid (A) = 45 cm² = 45 × 10^-4 m²

Number of turns on the solenoid (N) = 650

Current in the solenoid (I) = 3.6 A

Time duration (t) = 10^-3 s

B = Strength of the magnetic field = μ₀ (NI/l)

Where, 

μ0 = Permeability of free space = 4π × 10^-7 T m A^-1

e = μ₀N²IA / lt

  = 4π × 10^-7 × (650)² × 3.6 × 45 × 10^-4 / 0.4 × 10^-3

  = 21.5 V

Часто задаваемые вопросы об электромагнитной индукции

Вопрос 1: Дайте определение электромагнитной индукции.

Отвечать:

Electromagnetic or magnetic induction is the production of an electromagnetic force around the electrical conductor in a changing magnetic field. 

Вопрос 2: Каковы приложения электромагнитной индукции?

Отвечать:

Electromagnetic induction is essentially used for production of electricity. Electricity is generated by subjecting a metal to a changing magnetic field. This induces a current in the metal due to a force on the free electrons. 

• Dams use the energy of flowing water to drive coils of wire in a magnetic field to generate electricity. 
• Electromagnetic induction is also used for braking purpose in magnetic trains.
• Nuclear reactors generate heat, which is used to convert water to steam, that is used to drive turbines in a magnetic field. 

Вопрос 3: Какова связь между магнитной индукцией и током?

Отвечать:

We know that electric current can produce magnetic fields also support that magnetic field could produce electric currents. The production of electro motive force and currents by the changing magnetic field through a conducting loop is called magnetic induction. 

Вопрос 4: Укажите разницу между магнитным полем и электрическим полем.

Отвечать:

• The field of force present around a charged particle is known as electric field, while a magnetic field is a field of force around a magnet or around a conductor in which charged particle is present. 
• The electric field is expressed in Newtons per Coulomb, or Volts per meter, whereas a magnetic field strength is expressed in Gauss or Tesla. 
• The force of an electric field is proportional to the electric charge, while the magnetic field is proportional to the electric charge as well as the speed of the moving charge.

Связанные ресурсы

• Faraday’s Law
• Inductance
• Lenz’s Law