Угловой момент

Угловой момент — это кинематическая характеристика системы с одной или несколькими точечными массами. Угловой момент иногда называют вращательным моментом или моментом количества движения, что является вращательным эквивалентом линейного количества движения. Это важная физическая величина, поскольку она сохраняется для замкнутой системы и подчиняется закону сохранения углового момента. Угловой момент равен произведению момента инерции (I) и угловой скорости (ω) объекта, находящегося во вращательном движении. Угловой момент является векторной величиной. единицей углового момента в системе СИ является кг.м ² .с ^-1 . Давайте разберемся с другими понятиями об угловом моменте, такими как Что такое угловой момент? Формула углового момента, формула единиц и размеров углового момента, спинового и орбитального углового момента, связь между крутящим моментом и угловым моментом, закон сохранения углового момента, часто задаваемые вопросы и примеры углового момента.

Что такое угловой момент?

Angular Momentum is defined as the property of objects in rotational motion which is determined by the product of their moment of inertia and angular velocity.

Когда на систему частиц не действует никакая внешняя сила, угловой момент в системе сохраняется. Полный угловой момент любой сложной системы равен сумме угловых моментов каждого из ее составных элементов, что делает угловой момент экстенсивной величиной. Полный угловой момент для сплошного твердого тела или жидкости представляет собой объемный интеграл плотности углового момента (угловой момент на единицу объема в пределе, когда объем падает до нуля).

Вращение и обращение Земли дают один из лучших примеров углового момента. Например, ежедневное вращение Земли вокруг своей оси представляет собой угловой момент вращения, тогда как ее годовой оборот вокруг Солнца представляет собой орбитальный угловой момент.

Формула углового момента

Угловой момент для объекта во вращательном движении может происходить двумя способами. Они должны быть,

Угловой момент для точечного объекта

Угловой момент может ощущаться точечным объектом, когда объект ускоряется вокруг фиксированного положения. Например, в случае земли и солнца. Земля вращается вокруг Солнца по своей орбите, где Солнце зафиксировано в своем положении.

The angular momentum, in that case is given by, 

where, 

 is the angular momentum,

r is the radius of the rotational path or the distance from the position and the object rotating, and 

 is theLinear momentum of the object. 

Угловой момент для протяженного объекта

Угловой момент может ощущаться точечным объектом, когда объект вращается вокруг фиксированного положения. Например, при вращении Земли вокруг своей оси.

The angular momentum, in that case is given by, 

where, 

 is the angular momentum,

I is the Rotational Inertia, and  

 is the angular velocity of the object. 

Единица углового момента

• Единицей углового момента в системе СИ является кг.м ² /с.
• Единицей углового момента в СГС является г.см ² /с.
• Размерная формула для углового момента: [ML ² T ^-1 ].

Направление углового момента (правило большого пальца правой руки)

Направление углового момента можно определить по правилу большого пальца правой руки. Если вы расположите правую руку так, чтобы пальцы указывали в направлении r. Таким образом, завиток ориентирован в направлении линейного количества движения (p). Вытянутый большой палец показывает направление углового момента (L).

Angular Momentum Quantum Number

Azimuthal quantum number or secondary quantum number is interchangeable with angular momentum quantum number. It is a quantum number that determines the angular momentum of an atomic orbital as well as its size and form. The most common value is between 0 and 1.

Связь между крутящим моментом и угловым моментом

Let’s assume that the object is made up of N particles with masses m₁, m₂,….m_N and perpendicular distances r₁, r₂,….r_N from the rotation axis. As the object rotates, all of these particles conduct UCM with the same angular speed ω but different line speeds v₁ = r₁ω, v₂ = r₂ω, … v_N = r_Nω.

Individual velocity directions, v₁, v₂, and so on, are along the tangents of their respective tracks. The initial particle’s linear momentum is p₁ = m₁v₁ = m₁r₁ω. It travels in the same direction as v₁. 

The magnitude of its angular momentum is consequently L₁ = p₁r₁ = m₁r₁²ω. Similarly, L₂ = m₂r₂²ω, L₃ = m₃r₃²ω, … L_N = m_Nr_N²ω.

All of these angular momenta are directed along the axis of rotation for a rigid body with a fixed axis of rotation, which may be determined using the right-hand thumb rule. Their magnitudes may be summed algebraically because they all have the same direction. As a result, the magnitude of the body’s angular momentum is given by,

L = m₁r₁²ω + m₂r₂²ω +….+ m_Nr_N²ω

∴ L = (m₁r₁² + m₂r₂² +…+ m_Nr_N²)ω = Iω

The moment of inertia of the body around the given axis of rotation is I = m₁r₁² + m₂r₂² +…+ m_Nr_N². If the moment of inertia I replace mass, the angular momentum statement L = Iω is comparable to the linear momentum expression p = mv, which is its physical significance.

Примеры углового момента

• Гироскоп: Чтобы сохранить свою ориентацию, гироскоп использует принцип углового момента. Он работает с прялкой с тремя степенями свободы. Он фиксирует ориентацию при повороте на высокой скорости и не отклоняется от нее. Это полезно в космических приложениях, где контроль положения космического корабля имеет решающее значение.
• Фигурист: Когда фигуристы начинают вращение, их руки и ноги широко расставлены в стороны от центра тела. Они кладут руки и ноги ближе к телу, когда вращение требует более высокой угловой скорости. Они вращаются быстрее в результате сохранения углового момента.

Закон сохранения углового момента

Все видели закон сохранения импульса, который утверждает, что в отсутствие внешней неуравновешенной силы линейный импульс изолированной системы сохраняется. В динамике вращения крутящий момент и угловой момент аналогичны силе и линейному импульсу, как указывалось ранее. С правильными модификациями это можно превратить в сохранение углового момента.

As seen above, angular momentum or moment of linear momentum of the system is gives, L = r × p

Where, r = position vector from the axis of rotation, p = linear momentum.

Differentiating with respect to time, 

dL/dt = d/dt(r × p)

∴ dL/dt = r × (dp/dt) + (dr/dt) × p ⇢ (equation a)

Now, (dr/dt) = v and (dp/dt) = F put in equation a.

∴ dL/dt =  r × F + m(v × v)

Now, (v × v) = 0

∴ dL/dt = r × F

But, r × F is torque.

∴ τ = dL/dt

Thus, if τ = 0, dL/dt = 0 or L = constant.

В результате при отсутствии неравномерного внешнего момента τ сохраняется угловой момент L. Это принцип сохранения углового момента, аналогичный закону сохранения импульса.

Сохранение углового момента демонстрируется в выступлениях балетных танцев, цирковых акробатов и таких видах спорта, как катание на коньках и ныряние в бассейне. L = Iω = I(2πη) постоянна во всех этих случаях. В результате, увеличивая момент инерции I, я уменьшаю угловую скорость и, как следствие, частоту вращения η. Кроме того, уменьшение момента инерции увеличивает частоту.

Очки, чтобы помнить

• Угловой момент определяется как атрибут любого вращающегося объекта, который определяется произведением момента инерции и угловой скорости.
• Величину углового момента L можно рассчитать по следующей формуле: L = rmv sin Φ
• Спин и орбитальный угловой момент - это два типа углового момента.
• L = r × p — формула для расчета углового момента точечного объекта.
• L = I × ω — формула для расчета углового момента длинного объекта.
• Радиус окружности определяет перпендикулярную скорость тела при отсутствии крутящего момента.

Часто задаваемые вопросы об угловом моменте

Вопрос 1: Сформулируйте принцип сохранения углового момента.

Отвечать:

According to the Law of Conservation of Angular momentum, when no external torque acting on the system, it is said to be conserved

Вопрос 2: Дайте определение угловому моменту.

Отвечать:

Angular momentum is defined as the attribute of any rotating object that is determined by the product of moment of inertia and angular velocity.

Вопрос 3. Угловой момент — это скаляр или вектор?

Отвечать:

Angular Momentum has both magnitude and direction, therefore it is a Vector Quantity.

Вопрос 4: Что такое квантовое число углового момента?

Отвечать:

Azimuthal quantum number or secondary quantum number is interchangeable with angular momentum quantum number. It is a quantum number that determines the angular momentum of an atomic orbital as well as its size and form. The most common value is between 0 and 1.

Вопрос 5: Что такое крутящий момент? Дайте также его выражение.

Отвечать:

The force that may cause an object to rotate along an axis is measured by torque. In linear kinematics, force is what propels an object forward. An angular acceleration is also caused by torque. As a result, torque can be thought of as the linear force’s rotating equivalent. The axis of rotation is the point around which an object rotates. Torque is defined as a force’s proclivity to turn or twist in physics.

The formula of Torque is, 

τ = r × F

where, 

• r is the perpendicular distance and 
• Fis the force applied on the object.

Вопрос 6: Кратко объясните правило большого пальца правой руки.

Отвечать:

Right hand thumb Rule can be stated as,

• If one position their right hand so that the fingers point in the direction of r.
• The curl is thus oriented in the direction of linear momentum (p).
• The outstretched thumb depicts the direction of angular momentum (L).

Статьи по Теме

• Impulse
• Momentum
• Law Conservation of Momentum