Тригонометрические отношения

Тригонометрия — это все о треугольниках или, если быть более точным, о соотношении между углами и сторонами прямоугольного треугольника. У треугольника есть три стороны: гипотенуза, прилежащая и противоположная. Отношение между этими сторонами, основанное на угле между ними, называется тригонометрическим отношением.

Как показано на рисунке в прямоугольном треугольнике

• Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой
• Сторона, противолежащая углу, называется противолежащей стороной
  • У угла С противоположная сторона АВ
  • Для угла А противоположная сторона равна ВС
• Сторона, примыкающая к углу, называется прилежащей стороной
  • Для угла C смежная сторона равна BC
  • Для угла А смежная сторона равна АВ

Что такое тригонометрические отношения?

Существует 6 основных тригонометрических соотношений, составляющих основу тригонометрии. Эти 6 тригонометрических соотношений являются отношениями всех возможных комбинаций в прямоугольном треугольнике.

Эти тригонометрические соотношения называются

• Синус
• Косинус
• Тангенс
• Косеканс
• секанс
• Котангенс

Математический символ θ используется для обозначения угла.

Его (его)

Синус угла определяется отношением длин сторон, противолежащих углу, и гипотенузы. Он представлен как sin θ

Косинус (cos)

Косинус угла определяется отношением длин сторон, прилежащих к углу, и гипотенузы. Он представлен как cos θ

Тангенс (загар)

Тангенс угла определяется отношением длины стороны, противолежащей углу, и стороны, прилежащей к углу. Он представлен как тангенс θ

Косеканс (косеканс)

Косеканс угла определяется отношением длины гипотенузы и катета, противолежащего углу. Он представлен как cosec θ

секанс (сек)

Секанс угла определяется отношением длины гипотенузы и катета к прилежащему к углу катету. Он представлен как sec θ

котангенс (колено)

Котангенс угла определяется отношением длины стороны, прилежащей к углу, и стороны, противолежащей углу. Он представлен как кроватка θ.

Таблица тригонометрических отношений

Тригонометрические соотношения для любого конкретного угла θ приведены ниже:

Тригонометрическая таблица некоторых конкретных углов

Тригонометрические соотношения для стандартных углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90° необходимы для решения тригонометрических соотношений. Различные тригонометрические тождества также необходимы для решения тригонометрических функций. Теперь значения тригонометрических соотношений для конкретных углов, таких как 30 ° , 45 ° и т. д. в таблице ниже:

Нахождение стороны прямоугольного треугольника с тригонометрическим отношением

Это одно из самых основных и полезных применений тригонометрии с использованием упомянутых тригонометрических соотношений для нахождения длины стороны прямоугольного треугольника, но для этого мы уже должны знать длину двух других сторон или угла и длина одной стороны.

Действия, которые нужно выполнить, если известны одна сторона и один угол:

1. Выберите тригонометрическое соотношение, содержащее заданную сторону и неизвестную сторону
2. Используйте алгебру, чтобы найти неизвестную сторону

Пример: В прямоугольном треугольнике ABC ∠B = 90° и ∠C = 30°, длина стороны AB равна 4. Найдите длину BC, если тангенс 30° = 1/√3.

Решение:

C = 30°
tan C = tan 30°
         = 1/√3
tan C = opposite side/adjacent side
 1/√3 = AB/BC
 1/√3 = 4/BC
    BC = 4√3

Действия, которые необходимо выполнить, если известны две стороны:

1. Отметьте известные стороны как смежные, противолежащие или гипотенузу относительно любого из острых углов треугольника.
2. Определите, какое тригонометрическое соотношение можно найти по приведенной выше таблице.
3. Найдите угол (X)
4. Используйте тригонометрическое отношение по отношению к X, которое представляет собой отношение известной стороны к неизвестной стороне.
5. Используйте алгебру, чтобы найти неизвестную сторону.

Пример: если две стороны прямоугольного треугольника равны 20 и 10√3, где сторона с длиной 20 является гипотенузой, найдите третью сторону (без использования теоремы Пифагора), учитывая sin 30° = 1/2 и cos 30° = √3/2

Решение:

hypotenuse = 20
adjacent side = 10√3
cos θ = adjacent side / hypotenuse
         = 10√3 / 20
     θ  = √3/2

Решенные примеры на тригонометрические отношения

Пример 1: Найдите значение sin θ, если tan θ = 4/3 и cos θ = 6/10.

Решение:

Given, tan θ = 4/3 and cos θ = 6/10
we know that,
tan θ = sin θ/cos θ
4/3 = sin θ/(6/10)
sin θ = (4/3)×(6/10)
sin θ = 8/10

Пример 2. В прямоугольном треугольнике PQR с прямым углом в точке Q гипотенуза равна PR = 13 см, основание равно QR = 5 см, а перпендикуляр равен PQ = 12 см, и если ∠PQR = θ, то найти sin θ, cos θ и тангенс θ.

Решение:

Given, In ∆PQR,
Hypotenuse, PR = 13 cm
Base, QR = 5 cm
Perpendicular, PQ = 12 cm
now,
sin θ = Perpendicular/Hypotenuse = PQ/PR = 12/13
cos θ = Base/Hypotenuse = QR/PR = 5/13
tan θ = Perpendicular/Base = PQ/QR = 12/5

Пример 3: Найдите значение cos θ, если tan θ = √3 и sin θ = √3/2.

Решение:

Given, tan θ = √3 and sin θ = √3/2
we know that,
tan θ = sin θ/cos θ
√3 = (√3/2)/cos θ
cos θ = (√3/2)/√3
cos θ = 1/2

Пример 4: Найдите значение sec ² θ, если tan ² θ = 1

Решение:

Given, tan² θ = 1…(1)

we know that, sec² θ – tan² θ = 1…(2)

By eq (1),

sec² θ – 1 = 1
sec² θ  = 1 + 1

than,

sec² θ  = 2

Часто задаваемые вопросы о тригонометрических соотношениях

Вопрос 1: Каковы различные приложения тригонометрических отношений в реальной жизни?

Отвечать:

Various real life applications of trigonometric ratios are:

• sin and cos functions are used to represent various waves and harmonic functions.
• Trigonometric Ratios are used in the study of architectural engeering, civil engeering, astronomical stuies, etc.
• Trigonometric ratios are used in getting ideaof directions and creating maps.

Вопрос 2: Напишите три основных тригонометрических соотношения.

Отвечать:

The three basic trigonometric ratios are sine (sin), cosine (cos), and tangent (tan)

Вопрос 3: Каковы все шесть тригонометрических отношений?

Отвечать:

All Six 6 trigonometric ratios are sine (sin), cosine (cos), tangent (tan), cotangent (cot), cosecant (cosec), and secant (sec).

Вопрос 4: Напишите тригонометрические отношения дополнительных углов.

Отвечать:

Two angles whose sum is 90° are called as complementary angles. The formulas for trigonometric ratios of complementary angles are:

• sin (90°- θ) = cos θ
• cos (90°- θ) = sin θ
• cosec (90°- θ) = sec θ
• sec (90°- θ) = cosec θ
• tan (90°- θ) = cot θ
• cot (90°- θ) = tan θ

Связанные ресурсы

• Trigonometric Identites
• Real-life Application of trigonometry
• Sin and Cos Formulas