Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Тригонометрия — это раздел математики, изучающий углы, длины и высоты треугольников и их соотношения. Это сыграло важную роль для вычисления сложных функций или больших расстояний, которые невозможно было вычислить без тригонометрии. При решении задач по тригонометрии мы сталкивались со многими ситуациями, когда приходится вычислять тригонометрические решения для суммы углов или разности углов. Например

Здесь,

Это касательное тригонометрическое отношение с углом, противоположным BC.

тангенс (θ + Φ) =

Если θ = 30° и Φ = 45°. Мы знаем тригонометрические углы 45° и 30°, но не знаем тригонометрический угол (45° + 30° = 75°). Таким образом, чтобы упростить эти типы проблем. Мы изучим тригонометрические формулы или тождества суммы и разности двух углов, что облегчит задачу.

Прежде чем двигаться дальше, сначала мы увидим знаки тригонометрических функций в четырех квадрантах. Эти знаки играют важную роль в тригонометрии.

Тригонометрические тождества

Сейчас мы собираемся найти тригонометрические тождества. Как мы знаем, что

грех (-х) = - грех х

потому что (-х) = потому что х

Потому что только cos и sec положительны в четвертом квадранте. Итак, теперь докажем некоторые результаты о сумме и разности углов:

Let’s consider a unit circle (having radius as 1) with centre at the origin. Let x be the ∠DOA and y be the ∠AOB. Then (x + y) is the ∠DOB. Also let (– y) be the ∠DOC. 

Therefore, the coordinates of A, B, C and D are

A = (cos x, sin x)

B = [cos (x + y), sin (x + y)]

C = [cos (– y), sin (– y)] 

D = (1, 0).

As, ∠AOB = ∠COD

Adding, ∠BOC both side, we get

∠AOB + ∠BOC = ∠COD + ∠BOC

∠AOC = ∠BOD

In △ AOC and △ BOD

OA = OB (radius of circle)

∠AOC = ∠BOD (Proved earlier)

OC = OD (radius of circle)

△ AOC ≅ △ BOD by SAS congruency.

By using distance formula, for

AC² = [cos x – cos (– y)]² + [sin x – sin(–y]²

AC² = 2 – 2 (cos x cos y – sin x sin y) …………….(i)

And, now

Similarly, using distance formula, we get

BD² = [1 – cos (x + y)]² + [0 – sin (x + y)]²

BD² = 2 – 2 cos (x + y) …………….(ii)

As, △ AOC ≅ △ BOD

AC = BD, So AC² = BD²

From eq(i) and eq(ii), we get

2 – 2 (cos x cos y – sin x sin y) = 2 – 2 cos (x + y)

So, 

cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y

Take y = -y, we get

cos (x + (-y)) = cos x cos (-y) – sin x sin (-y)

cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y

Now, taking 

cos (-(x + y)) = cos ((-x) – y) (cos (-θ) = sin θ)

sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y

take y = -y, we get

sin (x – (-y)) = sin x cos (-y) – cos x sin (-y)

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

Полученные формулы для тригонометрических соотношений составных углов выглядят следующим образом:

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B     ………………..(1)

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B       ………………..(2)

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B     ..………………(3)

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B     ………………..(4)

Используя эти формулы, мы можем получить важную и наиболее часто используемую форму:

(1) Возьмем, А =

In eq(1) and (3), we get

sin (+B) = cos B

cos (+B) = – sin A

(2) Возьмем, А = π

In eq(1), (2), (3) and (4) we get

sin (π + B) = – sin B

sin (π – B) = sin B

cos (π ± B) = – cos B

(3) Возьмем, А = 2π

In eq(2) and (4) we get

sin (2π – B) = – sin B

cos (2π – B) = cos B

Аналогично для кроватки A, tan A, sec A и cosec A.

(4)

Here, A, B, and (A + B) is not an odd multiple of π/2, so, cosA, cosB and cos(A + B) are non-zero

tan(A + B) = sin(A + B)/cos(A + B)

From eq(1) and (3), we get

tan(A + B) = sin A cos B + cos A sin B/cos A cos B – sin A sin B

Now divide the numerator and denominator by cos A cos B we get

tan(A + B) = 

(5)

As we know that 

So, on putting B = -B, we get

(6)

Here, A, B, and (A + B) is not a multiple of π, so, sinA, sinB and sin(A + B) are non-zero

cot(A + B) = cos(A + B)/sin(A + B)

From eq(1) and (3), we get

cot(A + B) = cos A cos B – sin A sin B/sin A cos B + cos A sin B

Now divide the numerator and denominator by sin A sin B we get

cot(A + B) = 

(7)

As we know that 

So, on putting B = -B, we get

Здесь мы установим два набора формул преобразования: формулы факторизации и дефакторизации.

Формулы дефакторизации

В тригонометрии дефакторизация означает преобразование произведения в сумму или разность. Формулы дефакторизации:

(1) 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)

Доказательство:

As we know that 

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B     ………………………(1)

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B      ………………………(2)

By adding eq(1) and (2), we get

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)

(2) 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

Доказательство:

As we know that 

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B     ………………………(1)

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B      ………………………(2)

By subtracting eq(2) from (1), we get

2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

(3) 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

Доказательство:

As we know that 

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B     ………………………(1)

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B     ………………………(2)

By adding eq(1) and (2), we get

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

(4) 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)

Доказательство:

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B     ………………………(1)

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B     ………………………(2)

By subtracting eq(3) from (4), we get

2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)  

Пример 1. Преобразуйте каждое из следующих произведений в сумму или разность.

(i) 2 sin 40° cos 30°

(ii) 2 sin 75° sin 15°

(iii) cos 75° cos 15°

Решение:

(i) Given: A = 40° and B = 30°

Now put all these values in the formula, 

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)

We get

2 sin 40° cos 30° = sin (40 + 30) + sin (40 – 30) 

= sin (70°) + sin (10°) 

(ii) Given: A = 75° and B = 15°

Now put all these values in the formula, 

2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)

We get

2 sin 75° sin 15° = cos (75-15) – cos (75+15)

= cos (60°) – cos (90°)

(iii) Given: A = 75° and B = 15°

Now put all these values in the formula, 

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

We get

cos 75° cos 15° = 1/2(cos (75+15) + cos (75-15))

= 1/2 (cos (90°) + cos (60°))

Пример 2. Решить для

Решение:

Using the formula

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) 

 

= 

= 

= 

Hence, 

 = 0

Формулы факторизации

В тригонометрии факторизация означает преобразование суммы или разности в произведение. Формулы факторизации:

(1) грех (С) + грех (D) = 2 грех потому что

Доказательство:

We have 

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) ………………………(1)

So now, we are taking 

A + B = C and A – B = D

Then, A =  and B = 

Now put all these values in eq(1), we get

2 sin () cos () = sin (C) + sin (D)

Or 

sin (C) + sin (D) = 2 sin () cos ()

(2) sin(C) – sin(D) = 2 cos без

Доказательство:

We have 

2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B) ………………………(1)

So now, we are taking 

A + B = C and A – B = D

Then, A =  and B = 

Now put all these values in eq(1), we get

2 cos () sin () = sin (C) – sin (D)

Or 

sin (C) – sin (D) = 2 cos () sin ()

(3) cos(C) + cos(D) = 2 cos потому что

Доказательство:

We have 

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) ………………………(1)

So now, we are taking 

A + B = C and A – B = D

Then, A =  and B = 

Now put all these values in eq(1), we get

2 cos () cos () = cos (C) + cos (D)

Or 

cos (C) + cos (D) = 2 cos () cos ()

(4) cos(C) – cos(D) = 2 sin без

Доказательство:

We have 

2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)  ………………………(1)

So now, we are taking 

A + B = C and A – B = D

Then, A =  and B = 

Now put all these values in eq(1), we get

2 sin () sin () = cos (C) – cos (D)

Or 

cos (C) – cos (D) = 2 sin () sin ()

Объясните 1. Выразите каждое из следующего как произведение

(i) sin 40° + sin 20°

(ii) sin 60° – sin 20°

(iii) cos 40° + cos 80°

Решение:

(i) Given: C = 40° and D = 20°

Now put all these values in the formula, 

sin (C) + sin (D) = 2 sin cos  

We get

sin 40° + sin 20° = 2 sin cos 

= 2 sin  cos 

= 2 sin 30° cos 10°

(ii) Given: C = 60° and D = 20°

Now put all these values in the formula, 

sin (C) – sin (D) = 2 cos sin 

We get

sin 60° – sin 20° = 2 cos sin 

= 2 cos  sin 

= 2 cos 40° sin 20°

(iii) Given: C = 80° and D = 40°

 Now put all these values in the formula, 

cos (C) + cos (D) = 2 cos cos 

We get

cos 40° + cos 80° = 2 cos  cos 

= 2 cos  cos 

= 2 cos 60° cos 20°

Пример 2. Докажите, что: 1 + cos 2x + cos 4x + cos 6x = 4 cos x cos 2x cos 3x

Решение:

Lets take LHS

1 + cos 2x + cos 4x + cos 6x

Here, cos 0x = 1

So,

(cos 0x + cos 2x) + (cos 4x + cos 6x)

Using formula

cos (C) + cos (D) = 2 cos cos  

We get

(2 cos cos ) + (2 cos  cos )

(2 cos x cos x) + (2 cos 5x cos x)

Taking 2 cos x common, we have

2 cos x (cos x + cos 5x)

Again using the formula 

cos (C) + cos (D) = 2 cos cos 

We get

2 cos x (2 cos cos )

2 cos x (2 cos 3x cos 2x)

4 cos x cos 2x cos 3x

LHS = RHS

Hence proved

Тригонометрические соотношения нескольких углов (2А) через угол А

Тригонометрические отношения угла прямоугольного треугольника определяют отношение между углом и длиной его сторон. sin 2x или cos 2x и т. д. также являются одной из таких тригонометрических формул, также известных как формула двойного угла, поскольку в ней есть двойной угол.

(1) sin 2A = 2 sin A cos A

Доказательство:

As we know that 

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B ………………..(1)

Now taking B = A, in eq(1), we get

sin (A + A) = sin A cos A + cos A sin A

sin 2A = 2 sin A cos A  

(2) cos 2A = cos ² A – sin ² A

Доказательство:

As we know that 

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B ………………..(1)

Now taking B = A, in eq(1), we get

cos (A + A) = cos A cos A + sin A sin A

cos 2A = cos² A – sin² A

(3) cos 2A = 2cos ² A – 1

Доказательство:

As we know that 

cos 2A = cos² A – sin² A ………………..(1)

We also know that 

sin² A + cos² A = 1

So, sin² A = 1 – cos² A

Now put the value of sin² A in eq(1), we get

cos 2A = cos² A – (1 – cos² A)

cos 2A = cos² A – 1 + cos² A

cos 2A = 2cos² A – 1

(4) cos 2A = 1 – 2sin ² A

Доказательство:

As we know that 

cos 2A = 2cos² A – 1 ………………..(1)

We also know that 

sin² A + cos² A = 1

So, cos² A = 1 – sin² A

Now put the value of sin² A in eq(1), we get

cos 2A = 2(1 – sin² A) – 1

cos 2A = 2 – 2sin² A) – 1

cos 2A = 1 – 2sin² A 

(5) cos 2А =

Доказательство:

As we know that 

cos 2A = cos² A – sin² A 

So, now dividing, by sin² A + cos² A = 1, we get

cos 2A = 

Again dividing the numerator and denominator by cos² A, we get

cos 2A = 

cos 2A = 

(6) sin 2А =

Доказательство:

As we know that 

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B ………………..(1)

Now taking B = A, in eq(1), we get

sin (A + A) = sin A cos A + cos A sin A

sin 2A = 2 sin A cos A  

As we also know that sin² A + cos² A = 1

So, now dividing, by sin² A + cos² A = 1, we get

sin 2A = 

Now, on dividing the numerator and denominator by cos² A, we get

sin 2A = 

(7) загар 2А =

Доказательство:

As we know that 

 ………………..(1)

Now taking B = A, in eq(1), we get

tan(A + A) = 

tan 2A = 

Пример: Докажите, что

(я) = загар я

(ii) = детская кроватка θ

(iii) cos 4x = 1 – 8 sin ² x cos ² x

Решение:

(i) sin 2θ = 2 sin θ cos θ ………..(from identity 1)

and, 1 + cos 2θ = 2cos²θ  ………..(from identity 3)

= 

= tan θ 

Hence Proved

(ii) sin 2θ = 2 sin θ cos θ ………..(from identity 1)

and, 1 – cos 2θ = 2sin²θ  ………..(from identity 4)

= 

= cot θ

Hence Proved

(iii) cos 4x = cos 2(2x)

= 1 – 2sin²(2x) (using 16)

= 1 – 2(sin(2x))²

= 1 – 2(2 sin x cos x)²    (using identity 1)

= 1 – 2(4 sin² x cos² x)

cos 4x = 1 – 8 sin² x cos² x

Hence Proved

Тригонометрические отношения нескольких углов (3А) через угол А

Тригонометрические отношения угла прямоугольного треугольника определяют отношение между углом и длиной его сторон. sin 3x или cos 3x и т. д. также являются одной из таких тригонометрических формул, также известных как формула тройного угла, поскольку в ней есть тройной угол.

(1) sin 3A = 3sin A – 4 sin ³ A

Доказательство:

Let’s take LHS

sin 3A = sin(2A + A)

Using identity 

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

We get

sin 3A = sin 2A cos A + cos 2A sin A

= 2sin A cos A cos A + (1 – 2 sin²A)sin A

= 2sin A(1 – sin²A) + sin A – 2 sin³A

= 2sin A – 2sin³A + sin A – 2 sin³A

sin 3A = 3sin A – 4 sin³A

(2) cos 3A = 4 cos ³ A – 3cos A

Доказательство:

Let’s take LHS

sin 3A = sin(2A + A)

Using identity 

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

We get

cos 3A = cos 2A cos A – sin 2A sin A

= (2cos²A – 1)cos A – 2sin A cos A sin A

= (2cos²A – 1)cos A – 2cos A(1 – cos²A)

= 2cos³A – cos A – 2cos A + 2cos³A)

cos 3A = 4 cos³A – 3cos A 

(3) загар 3A =

Доказательство:

Let’s take LHS

tan 3A = tan(2A + A)

Using identity 

We get

tan 3A = 

= 

= 

= 

Пример 1. Решить 2sin3xsinx.

Решение:

We have 2sin3xsinx

We also write as y = y1 . y2  ….(1)

Here, y1 = 2sin3x

y2 = sinx

So let’s solve y1 = 2sin3x

Using identity 

sin 3A = 3sin A – 4 sin³A

We get

y1 = 2(sin x – 4 sin³x)

= 2sin x – 8 sin³x

Now put these values in eq(1), we get

y = (2sin x – 8 sin³x)(sinx)

= 2sin² x – 8 sin⁴x

Пример 2. Решить 2tan3xtanx.

Решение:

We have 2tan3xtanx

We also write as y = y1 . y2  ….(1)

Here, y1 = 2tan3x

y2 = tanx

So let’s solve y1 = 2tan3x

Using identity 

tan 3A = 

We get

y1 = 2()

= 

Now put these values in eq(1), we get

y = ()(tanx)

=