Трапеция

Трапеция представляет собой многоугольник с четырьмя сторонами, т. е. четырехугольник. Трапеция — это особый четырехугольник, у которого только одна пара параллельных сторон. Трапеция — это двухмерная фигура, которая выглядит как стол. Трапеция произошла от греческого слова «трапеция», что означает стол.

Что такое Трапеция?

Трапеция представляет собой двумерный четырехугольник замкнутой формы, имеющий пару параллельных противоположных сторон. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные стороны трапеции называются катетами. У трапеции четыре стороны и четыре угла. Параллелограмм также называют трапецией с двумя параллельными сторонами.

На приведенном выше рисунке a и b — основания трапеции, а h — высота трапеции.

Виды трапеций

По сторонам и углам трапеции бывают трех видов:

• Скалена Трапециевидная
• Равнобедренная трапеция
• Правая трапеция

Равнобедренная трапеция

Трапеция, имеющая равные длины катетов, называется равнобедренной трапецией, т. е. у равнобедренной трапеции две непараллельные стороны равны.

Масштабная трапеция

Трапеция, у которой все стороны не равны, называется разносторонней трапецией. В разносторонней трапеции нет двух равных углов.

Правая трапеция

Трапеция, у которой есть пара прямых углов, смежных друг с другом, известна как прямоугольная трапеция.

Неправильная трапеция

У трапеции одна пара сторон параллельна, а две другие стороны не параллельны. В правильной трапеции две другие непараллельные стороны равны, а в случае неправильной трапеции две непараллельные противоположные стороны не равны.

Свойства трапеции

• В трапеции основания параллельны друг другу. Пример. Стороны AB и CD параллельны друг другу, как показано на рисунке.
• Сумма смежных внутренних углов трапеции равна 180°. Пример. Имеются две пары внутренних углов. Одна пара — это ∠ A и ∠ D, тогда как другая пара — это ∠ B и ∠ C. Сумма каждой пары внутренних углов равна 180 ^° .
• Сумма всех внутренних углов трапеции всегда равна 360°. Пример. На рисунке ∠A+∠D равно 180°, а ∠B+∠C равно 180°. Следовательно, ∠A+∠D +∠B+∠C = 360°.
• Длина обеих диагоналей в трапеции одинакова.
• В трапеции обе диагонали пересекаются.
• У трапеции ровно одна пара противоположных сторон параллельна.

Формулы трапеции

Важными формулами трапеции являются:

• Площадь трапеции = ½ (сумма параллельных сторон) × (расстояние между параллельными сторонами)
• Периметр трапеции = сумма всех четырех сторон

Площадь трапеции

Трапеция имеет две параллельные стороны a и b соответственно, а ее высота равна h.

Теперь площадь трапеции можно вычислить, найдя среднее значение оснований и умножив его результат на высоту.

Следовательно,

Area of trapezium  = ((a +b)/2) × h 

where,
a and b are the bases of trapezium
h is the altitude

Площадь равнобедренной трапеции

Пусть a и b — длины параллельных сторон трапеции ABCD, где a и b — основания трапеции и a>b.

Теперь, поскольку это равнобедренная трапеция, c — это длина двух непараллельных сторон, а h — высота трапеции.

Npw, AB = a, CD = b, BC = AD = c

В прямоугольном треугольнике AED

Длина перпендикуляра, h = √(c ² – (ab) ² ) [используя теорему Пифагора]….(1)

В настоящее время,
Площадь = ½ × сумма параллельных сторон × высота трапеции
= ½ × (а + b) × ч

используя уравнение (1)

Area of Isosceles Trapezium = 1/2 × [√(c² – (a-b)²) (a+b)]

Периметр трапеции

Периметр трапеции находится путем вычисления суммы всех ее сторон.

Следовательно,

Perimeter of trapezium = AB + BC + CD + AD

where
AB, BC, CD and AD are the sides of the trapezium.

Периметр равнобедренной трапеции

Если в равнобедренной трапеции a и b — длины параллельных сторон, то есть оснований, а c — длина двух равных непараллельных сторон, то периметр определяется как:

Perimeter = a+b+2c

where
a, b are bases
c is the equal side

Разница между трапецией и трапецией

В общих чертах, и Трапеция, и Трапеция одинаковы, но разница заключается в стране их происхождения.

Трапеция британского происхождения, это четырехсторонний многоугольник и двумерная фигура, у нее ровно одна пара параллельных сторон, противоположных друг другу. В Индии мы следуем британскому английскому языку, поэтому используется слово Trapezium.

Трапеция имеет американское происхождение, это тоже четырехсторонний многоугольник с одной парой параллельных сторон, противоположных друг другу. Параллельные стороны являются основаниями, а две другие непараллельные стороны называются катетами трапеции.

Решенные примеры на трапеции

Пример 1: Найдите четвертую сторону трапеции, если три другие стороны равны 8 см, 12 см и 16 см, а периметр равен 40 см.

Решение:

Perimeter is given as the sum of all its sides. Let the length o unknown be ‘x’ units. 

Perimeter =  40 

40 = 8 + 12 + 16 + x

x = 40 – (8 + 12 + 16) 

   = 4 cm 

Thus, the length of the unknown side is 4 cm

Пример 2: Трапеция имеет параллельные стороны длиной 15 см и 11 см и непараллельные стороны длиной 5 см каждая. Вычислите периметр трапеции .

Решение:

It is a Isosceles Trapezium because it is clearly mentioned that non parallel sides of length 5 cm each are equal. According to the isosceles trapezium if two non-parallel sides of the trapezium are of equal length then it is known as isosceles trapezium.

Given, a=15 cm, b=11 cm and c= 5 cm

We get,

Perimeter = a+b+2c 

P = 15+11+2(5)

P = 15+11+10

P = 36 cm

Пример 3: Найдите периметр трапеции, стороны которой равны 12 см, 14 см, 16 см и 18 см.

Решение:

As we know that the perimeter of a trapezium is given by calculating the sum of all its sides.  

P = Sum of all the sides

P = 12 + 14 + 16 + 18

P = 60 cm

Hence, the perimeter of trapezium is 60 cm.

Пример 4: Найдите площадь трапеции, у которой сумма параллельных сторон 60 см, а высота 10 см.

Решение:

Given, the sum of parallel sides 60 cm and the height, h =10 cm

We know that,

Area of a trapezium, A = 1/2 × Sum of parallel sides × distance between the parallel sides

By substituting the given values,

A =1/2×60×10

A = 30×10

A = 300 cm².

Therefore, the area of Trapezium =300 cm².

Часто задаваемые вопросы о Трапеции

Вопрос 1: Сколько параллельных сторон у трапеции?

Отвечать:

We know that trapezium, is a quadrilateral with one pair of parallel sides. Thus, a trapezium has a pair of parallel lines(sides).

Вопрос 2: Можно ли считать трапецию четырехугольником?

Отвечать:

A has four sides, four vertices, and four angles. Hence it can be considered a quadrilateral,  sum of all four interior angles of a trapezium is 360 degrees.

Вопрос 3: Можно ли квадрат назвать трапецией?

Отвечать:

A trapezium is a quadrilateral with only one pair of parallel sides and the other two sides are non-parallel. But in the case of a Square, it has two pairs of parallel sides hence, it can not be considered a Trapezium.

Вопрос 4: Всегда ли диагонали трапеции равны?

Отвечать:

The diagonals of a trapezium may not be equal. In the case of a Regular polygon, the diagonals are equal but this is not true in the case of an Irregular Polygon.

Вопрос 5. Какими свойствами обладает трапеция?

Отвечать:

The 5 properties of a Trapezium are:

• In trapezium, bases are parallel to each other. 
• A trapezium has supplementary adjacent angles.
• Only one pair of opposite sides are parallel.
• The sum of all the interior angles in a trapezium is always 360°.
• The line that joins the mid-point of the non-parallel sides is always parallel to the bases.

Связанные ресурсы

• Rhombus
• Triangle
• Quadrilaterals