Приложения тригонометрии

Концепция и различные соотношения тригонометрии уже изучены в предыдущей главе. Вот некоторые основные приложения тригонометрии, которые необходимо обсудить. Как известно, тригонометрия является одним из древнейших предметов, который изучается во всем мире. Тригонометрия широко используется в астрономии для расчета расстояния между планетами и звездами. В повседневной жизни тригонометрию можно использовать для простого расчета расстояния. Перед тем, как перейти к основному приложению, сначала следует прояснить основные термины, такие как угол возвышения, линия визирования, угол наклона и т. д.

Обычно высоту измеряют в вертикальном направлении, удаляя в горизонтальном направлении от определенной точки. Вы узнаете больше об этих терминах, пройдя каждую из тем, представленных ниже.

Угол возвышения

Представьте себе человека, смотрящего на вершину световой башни, как показано на рисунке ниже:

На этом рисунке линия DE, проведенная от глаза мальчика к вершине башни, называется линией видимости .

Угол между линией визирования и горизонтальным уровнем глаз мальчика, ΔCDA или ∠D, называется углом возвышения .

Когда мы измеряем угол возвышения, наблюдатель должен поднять голову и посмотреть выше горизонтального уровня.

Вот если кто-то хочет рассчитать высоту башни, не измеряя ее, то какая и сколько информации требуется? Следующая деталь необходима, чтобы узнать высоту башни, не измеряя ее;

1. Расстояние AB или CD между башней и точкой, где стоит мальчик.
2. Угол возвышения ∠EDC вершины башни.
3. Рост мальчика Д.А.

В ΔCDE известное ∠D противоположно стороне CE, а известно, что сторона CD. Итак, вот тригонометрическое соотношение, которое можно использовать для применения всех этих трех величин? Определите tan D или cot D, так как их соотношение включает CD и CE.

При расчете длины башни или любого другого объекта следует иметь в виду длину мальчика, которую нужно прибавить к результату, полученному из соотношения тригонометрии. На следующем примере эта концепция станет более понятной.

Угол депрессии

Теперь рассмотрим ситуацию, как на рисунке 4, человек смотрит с балкона на мяч. Его линия обзора находится ниже горизонтального уровня. Угол между линией визирования и горизонтальным уровнем называется углом депрессии .

Таким образом, угол наклона точки на объект - это угол между горизонтальным уровнем и линией визирования, когда точка находится ниже горизонтального уровня.

На приведенном выше рисунке человек в точке C смотрит на мяч в точке B. CB — это линия обзора, а AC — высота балкона.

В ΔBCD ∠BCD — это угол падения точки B. Здесь высота балкона AC = BD, а расстояние шара от основания здания AB = CD. Согласно приведенным данным, можно использовать тригонометрическое отношение, так как в нем могут участвовать как известные, так и неизвестные величины.

Примеры проблем

Задача 1: Стержень стоит на плоскости вертикально. Из точки на плоскости, удаленной от основания шеста на 12 м, угол подъема вершины шеста равен 30°. Найдите высоту шеста.

Решение:

First, draw a simple diagram of the given problem as below:

Figure 3

In this figure, BC represents the height of the electric pole and ∠CAB or ∠A represents the angle of the elevation of the top of the tower. In ΔABC, ∠CAB is the right angle and AB = 12 m. In ΔABC, CB is needed to be determined i.e. the height of the pole.

To solve the given problem use trigonometry ratio tan A or cot A as they involve given sides in ratios.

Now,  

i.e.

or

Hence, the height of the poll is 4√3.

Задача 2: Мальчик подает два облака из определенной точки. Угол подъема облаков 30° и 45°. Если высота облаков от поверхности земли одинакова, а расстояние между облаками равно 300 м, то найдите высоту облака.

Solution: 

First, draw a simple diagram of the given problem as below.

In this figure, CE and BD represents the height of the clouds and ∠DAB and ∠EAC represents the angle of the elevation of the clouds at point A. In ΔABD, ∠DBA is the right angle, if the height of cloud BD is h then using trigonometry ratio tan A

i.e.

or 

AB = h                                                                                                 (Since, tan 45° = 1)

In ΔACE, ∠ACE is the right angle, if the height of cloud CE is h then using trigonometry ratio as:

i.e.

or  

i.e.  

 AC = h√3

From the above figure 4,

AC = AB + BC

Given: BC = 300.

Therefore,

 h√3 = h + 300

i.e.

 

Hence, the height of the cloud is 410.96 m.

Задача 3: Угол возвышения птицы, сидевшей на дереве, от точки на земле, удаленной от подножия дерева на 60 м, равен 60°. Найдите высоту дерева. (Возьмите √3 = 1,73).

Solution: First draw a simple diagram of the given problem as below:

In above figure, AB represents the distance between the ground point and foot of the tree, i.e. 60 m. BC is the height of the tree, let’s assume h.

In ΔABC, ∠ABC is the right angle and the angle of the elevation is ∠B i.e. 60°. 

Using trigonometry ratio tan A,

or 

Hence, the height of the tree is 103.8 m.

Задача 4: Угол наклона велосипеда, стоящего в парке, с высоты 45-метрового здания равен 30°. На каком расстоянии велосипед от основания здания (в м)?

Solution:

Below is a simple diagram of the given problem.

In above figure, AB represents the distance between the base of the building and the bike. AC is the height of the building, i.e. 45 m.

In ΔBCD, ∠BCD is the right angle and the angle of the depression is ∠C i.e. 30°. Using trigonometry ratio tan C in ΔBCD.

Here AC = BD and AB = CD.

i.e.  

Hence, the distance between the base of building and the bike is 77.85 m.

Задача 5: Электрик должен устранить неисправность в электросети, чтобы решить проблему с электроснабжением в деревне. Высота электрического столба, на котором имеется неисправность, составляет 7 м. Он хочет добраться до точки ниже 1,5 м от вершины столба, чтобы устранить неисправность. Какую длину лестницы он должен использовать, чтобы достичь нужного положения, если лестница наклонена под углом 60° к горизонтали? Также найдите, на каком расстоянии лестницу он должен поставить от подножия шеста (примите √3 = 1,73).

Solution:

First, Draw a basic diagram of the given problem as below:

In this figure, BC is the ladder, AD is the total length of the pole, Point C is the where electrician wants to reach.

As given CD = 1.5 m and AD = 7 m.

Therefore,   

AC = AD – CD

i.e.

AC = 7 – 1.5 m

     = 5.5 m

In ΔABC, ∠B is 60° and ∠A is right angle,

or

And, in ΔABC,

or 

Hence, the length of the ladder BC is 12.71 m and the distance between ladder and foot of the pole AB is 3.17 m.

Задача 6: Угол подъема облака из точки, находящейся где-то на поверхности воды озера, равен 30°. Угол падения тени облака в воду озера из этой же точки равен 60°. Найдите глубину тени, если высота облака 75 м. (Возьмите √3 = 1,73).

Solution:

First, draw a basic diagram of the given problem as below:

In this figure, AB is the water surface of the lake. Points C and D represent the cloud and its shadow respectively. ∠ABC and ∠ABD are the right angles. BC is the height of the cloud, i.e. 75 m and BD is the depth of the shadow. ∠BAC and ∠BAD are the angle of elevation and the angle of the depression, i.e. 30° and 60°.

In ΔABC,

i.e. 

Now in ΔABD,

or 

Hence, the depth of the shadow is 224.46 m.

Задача 7. Рассмотрим следующую диаграмму:

Если угол √ACB прямой, найдите AB и CD (примите √3 = 1,73).

Solution:

In ΔACD, use the trigonometry ratio sin A,

 

i.e.

And,

i.e.

In ΔBCD, use the trigonometry ratio ,

 

i.e.

BC = CD = 2.5 m

From the given figure:

i.e.

AC = AB + BC

or 

AB = 4.33 m – 2.5 m 

     =1.83 m

Hence, AB = 1.83 m and CD = 2.5 m.

Задача 8: Мальчик ростом 1,5 м смотрит в сторону двух зданий. Оба здания имеют высоту 12 м. Угол возвышения верха зданий составляет 45° и 60°. Найдите расстояние между двумя зданиями и расстояние от мальчика до ближайшего здания.

Solution:

A simple diagram of the given problem is drawn below

Figure 6

In the above figure, CB and GH represent the two buildings, CG is the distance between the two buildings, CD and GD is the distance between the boy and foot of the buildings of EB and FH respectively.

In ΔCDE and ΔFDG,

 EC = FG = EB – AD                                                                            (Since, AD = CB = GH)

i.e.

EC = FG = 12 m – 1.5 m

or 

EC = FG = 10.5 m

In ΔCDE, ∠CDE is equal to and ∠DCE is the right angle.

i.e.

or 

In ΔFDG, ∠FDG is  and ∠FGD is right angle.

i.e.

The distance between the buildings is:                  

CG = GD – CD

     = 10.5 m – 6.07 m

     = 4.43 m

Hence, the distance between the buildings CG is 4.43 m and the distance between the boy and the foot of the near building CD is 6.07 m.