Последовательности и формулы серий

В математике последовательность и ряд являются фундаментальными понятиями арифметики. Последовательность также называется прогрессией, которая определяется как последовательное расположение чисел в порядке, соответствующем определенным правилам. Ряд образуется путем сложения элементов последовательности. Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять концепцию последовательности и ряда. 1, 3, 5, 7, 9 — это последовательность из пяти членов, а соответствующая ей последовательность — 1 + 3 + 5 + 7 + 9, значение которой равно 25. Последовательности и последовательности подразделяются на разные типы на основе набора правил. которые используются для их формирования.

Определение последовательности и серии

Последовательность определяется как последовательное расположение чисел в порядке, соответствующем определенным правилам. Пусть x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ,… будут терминами последовательности, где 1, 2, 3, 4,… представляют позицию термина в данной последовательности.

• В зависимости от количества членов в последовательности она подразделяется на два типа, а именно на конечную последовательность и бесконечную последовательность.
• Ряд формируется путем сложения элементов последовательности.

Если х ₁ , х ₂ , х ₃ , х ₄ , ……. – заданная последовательность, то соответствующий ей ряд задается формулой S _N = x ₁ +x ₂ +x ₃ + .. + x _N

• В зависимости от того, является ли последовательность конечной или бесконечной, ряд может быть либо конечным, либо бесконечным.

Последовательность против Серии

Типы последовательностей и серий

Последовательности и серии подразделяются на разные типы. Некоторые из наиболее часто используемых примеров последовательностей и рядов:

• Арифметические последовательности и ряды
• Геометрические последовательности и ряды
• Гармонические последовательности и серии
• Числа Фибоначчи

Арифметическая последовательность и серия

Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой каждый член последовательности образуется путем прибавления или вычитания общего члена из предыдущего числа, а общий член называется общей разностью. Арифметический ряд называется рядом, построенным с использованием арифметической последовательности.

Например,

2, 5, 8, 11, 14,… — арифметическая последовательность с общей разностью 3, а 2 + 5 + 8 + 11 + 14 +… — соответствующая арифметическая последовательность.

Геометрическая последовательность и ряд

Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой каждый член последовательности образуется путем умножения или деления общего члена на предшествующее число, а общий член называется обыкновенным отношением. Геометрический ряд называется рядом, построенным с использованием геометрической последовательности. В зависимости от количества членов в геометрической прогрессии она подразделяется на два типа, а именно: конечная геометрическая прогрессия и бесконечная геометрическая прогрессия.

Например,

1, 5, 25, 125, 625,… — геометрическая последовательность со знаменателем 5, а 1 + 5 + 25 + 125 + 625 +… — соответствующая ей геометрическая последовательность.

Гармоническая последовательность и серия

Гармоническая последовательность — это последовательность, в которой каждый член последовательности является обратной величиной элемента арифметической последовательности. Гармонический ряд называется рядом, построенным с использованием гармонической последовательности.

Например,

2, 5, 8, 11, 14,… — арифметическая прогрессия. Теперь гармоническая последовательность 1/2, 1/5, 1/8, 1/11, 1/14,… и соответствующая ей гармоническая последовательность 1/2 + 1/5 + 1/8 + 1/11 + 1. /14 +…

Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи — это последовательность чисел, в которой каждый член последовательности формируется путем сложения двух предыдущих чисел, а первые два члена последовательности равны 0 и 1.

Поскольку первый член F ₀ и второй член F ₁ последовательности Фибоначчи равны 0 и 1, третий член будет равен F ₂ = F ₁ + F ₀ = 1 + 0 = 1.

Сходным образом,

Четвертый член, F ₃ = F ₂ + F ₁ = 1 + 1 = 2

Пятый член, F ₄ = F ₃ + F ₂ = 2 + 1 = 3

Шестой член, F ₅ = F ₄ + F ₃ = 3 + 2 = 5

Следовательно, (n+1) ^-й член последовательности Фибоначчи может быть выражен как F _n = F _n-1 + F _n-2 .

Числа последовательности Фибоначчи задаются как: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 38, . . .

Формулы последовательности и серии

• Сумма членов бесконечного геометрического ряда определяется выражением

S_n = a/(1−r)​

for |r| < 1, and not defined for |r| > 1

Примеры проблем

Задача 1: Используя формулу последовательности и ряда, определить седьмой член данной геометрической прогрессии: 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, ___.

Решение:

Given sequence: 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, ___

Now, a = 3, r = 1/3

By using the formula for the nth term of a geometric sequence and series:

a_n = ar^(n-1)

Putting the known values in the formula:

a₇ = 3 × (1/3)^(7-1)

a₇ = 3 × (1/3)⁶

a₇ = (1/3)⁵ = 1/243

Hence, the seventh term of the given series is 1/243.

Задача 2: Используя формулу последовательности и ряда, найдите 10-й член арифметической прогрессии 14, 10, 6, 2, -2, -6, ___.

Решение:

Given sequence: 14, 10, 6, 2, -2, -6, ___

Now, a = 14

d = 10 -14 = -4

Using the formula for the nth term of an arithmetic sequence:

a_n = a+(n-1)d

a₁₀ = 14 + (10 – 1)(-4)

a₁₀ = 14 + (9)(-4)

a₁₀ = 14 – 36 = -22

Hence, the 10th term of the sequence is -22.

Задача 3: Если p, q и r находятся в AP, найдите значение (q ² -pr)/(p – q) ² .

Решение:

Given that p, q, and are in A.P

let p, q, and r be a-d, a, a + d.

So, p = a-d, q = a, r = a + d

p – q = a- d – (a + d) = -2d

(p – q)² = (-2d)² = 4d²

q² = a²

p × r = (a – d) (a + d) = (a² – d²)

q² – pr = a² – (a² – d²) = d2

So, (q² – pr)/(p – q)² = d²/4d² = 1/4

Hence, the value (q²-pr)/(p – q)² = 1/4.

Задача 4: Найдите сумму бесконечного геометрического ряда 1, -2/3, 4/9, -8/27, 16/81___.

Решение:

Given sequence: 1, – 2/3,  4/9, -8/27, 16/81___

Now, a = 1,

The common ration of the sequence, r = (-2/3)/1 = -2/3

By using the sequence and series formulas,

Sum of the given series = a/(1 – r)

= 1/(1 – (-2/3))

= 1/(1 + 2/3)

= 1/(5/3) = 3/5

Hence, the sum of the infinite geometric series is 3/5.

Задача 5: Определить сумму первых 15 членов последовательности 0,5, 0,55, 0,555,___ до 15 членов.

Решение:

Given sequence: 0.5, 0.55, 0.555,___up to 15 terms

⇒ 0.5 + 0.55 + 0.555 + 0.5555, …….. up to 15 terms

⇒ 5[0.1 + 0.11 + 0.111 + 0.1111, …….. up to 15 terms]

⇒ (5/9)[0.9 + 0.99 + 0.999 + 0.9999, …… up to 15 terms]

⇒ (5/9) [(1 – 0.1) + (1 – 0.01) + (1 – 0.001), …… up to 15 terms]

⇒ (5/9) [(1 + 1 + 1 + 1, ……. up to 15 terms) – (0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ….. up o 15 terms)]

⇒ (5/9) [15 – (0.1) (1 – (0.1)¹⁵)/(1 – 0.1)]

⇒ (5/9) [15 – (0.1)(1 – (0.1)¹⁵)/(0.9)]

⇒ (5/9) [15 – (1/9) {1 – (0.1)¹⁵}]            as 1 – (0.1)¹⁵ = 1 (approx)

⇒ (5/9) (1/9) [134 ]

⇒ 8.27 (approx)

Задача 6: Определите n-й член данного ряда: 2, (2 + 4), (2 + 4 + 6), (2 + 4 + 6 + 8),…..

Решение:

Here by observing the sequence,

nth term = (2 + 4 + 6 + 8 + 10 . . . . . . . . . . . .+ 2n)

The nth term is an arithmetic series in itself with first term (a) = 2 and common difference (d) = 2

Now,

Sum of n terms of an Arithmetic progression is (n/2)[2a + (n-1)d]

= (n/2)[2 × 2 + (n-1) × 2]

= (n/2) × 2 [ 2 + (n – 1)]

= n(n+1)

Hence, the nth term of the given series is n(n+1).