Почему вероятность события всегда лежит между 0 и 1?

Опубликовано: 4 Сентября, 2022

Вероятность относится к степени возникновения событий. Когда происходит событие, например, бросание мяча, выбор карты из

Взаимоисключающее событие:
Для двух событий A и B, если оба этих события не имеют ничего общего, т.е. A ∩ B = ∅, то вероятность пересечения этих событий также будет равна нулю, т.е. P(A ∩ B) = 0 . Такие события известны как взаимоисключающие события.

Образец пространства:
Это набор всех возможных результатов эксперимента. В этой статье мы будем обозначать выборочное пространство буквой «S».

Теперь есть три важные аксиомы, связанные с вероятностью, которые действительно помогут нам в доказательстве приведенного выше утверждения. Итак, давайте посмотрим на эти аксиомы-

  1. Probability of an event will always be greater than or equal to zero i.e. P(A) >= 0 for any event A.
  2. Probability of a Sample Space will always be equal to 1 i.e. P(S) = 1
  3. Given some mutually exclusive events, the probability of the union of all these mutually exclusive events will always be equal to the summation of the probability of individual events i.e. P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 … ∪ AN) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +P (A4) + …. + P(AN)

Постановка задачи:
Здесь задача состоит в том, чтобы доказать, что вероятность A всегда будет лежать между 0 и 1, то есть 0 <= P(A) <= 1 .

Решение: рассмотрим событие A. Ниже приведены шаги для доказательства приведенной выше постановки задачи:

  • Согласно аксиоме 1 вероятность события всегда будет больше или равна 0.
P(A) >= 0 (According to Axiom 1)  --- (1)
  • Вероятность выборочного пространства будет равна вероятности пересечения A и (S – A), т.е.
S = A + (S - A)
P(S) = P(A + (S - A))
  • Так как А и (S – A) – два взаимоисключающих события. Итак, согласно аксиоме 3 можно записать:
P(A + (S - A)) = P(A) + P(S - A)
  • Из этого следует,
P(S) = P(A) + P(S - A)) --- (2)
  • Теперь, исходя из аксиомы 1, можно сказать, что P(S – A) всегда будет больше или равно нулю, т.е. P(S – A) >= 0 .
  • Если к данному значению добавить что-то положительное, его значение всегда будет увеличиваться. Поскольку P(S – A) >=0, можно сказать, что P(A) не может быть больше, чем P(S). В противном случае уравнение (2) не будет выполняться.
  • Это означает-
P(S) >= P(A)
  • Из аксиомы 2 вероятность выборочного пространства всегда равна 1. Итак, это означает:
1 >= P(A)
   or
P(A) >= 1 --- (3)
  • Из уравнений (1) и (3) можно показать, что:
0 <= P(A) <= 1

Это доказывает, что вероятность события всегда будет лежать между 0 и 1 .