Площадь поверхности призмы Формула
В математике призма является важным членом семейства многогранников и определяется как трехмерная форма, имеющая два одинаковых многоугольника, обращенных друг к другу, которые соединены сторонами прямоугольника или параллелограмма по бокам. Одинаковые многоугольники могут быть треугольниками, квадратами, прямоугольниками, пятиугольниками или любыми другими n-сторонними многоугольниками и называются основаниями призмы. Остальные грани призмы представляют собой параллелограммы или прямоугольники. Существует два вида призм, основанных на типе многоугольного основания, а именно: правильная призма и неправильная призма. В зависимости от расположения оснований различают два вида призм: прямые и наклонные. Кроме того, существуют различные типы призм в зависимости от формы основания призмы, например:
- Triangular prisms,
- Square prisms,
- Rectangular prisms,
- Pentagonal prisms,
- Hexagonal prisms,
- Octagonal prisms, etc.
Площадь поверхности призмы
Площадью поверхности призмы называют общую площадь, заключенную между всеми ее гранями. Чтобы определить площадь поверхности призмы, мы должны вычислить площади каждой из ее граней, а затем сложить полученные площади. Призма имеет два типа площадей поверхности, а именно площадь боковой поверхности и общую площадь поверхности. Площадь, занимаемая гранями призмы, за исключением двух параллельных граней (оснований призмы), называется площадью ее боковой поверхности.
The lateral surface area of a prism = [Base perimeter × height] square units
Теперь общая площадь поверхности призмы равна сумме площадей двух ее оснований и площади ее боковой поверхности.
Общая формула для расчета общей площади поверхности прямой призмы любого типа:
The total surface area of a Prism = [2 (Base Area) + (Base perimeter × height)] square units
Треугольная призма
Призму с треугольным основанием называют треугольной призмой. Треугольная призма состоит из трех наклонных прямоугольных поверхностей и двух параллельных треугольных оснований. Пусть «H» будет высотой треугольной призмы; «a, b и c» — длины сторон, а «h» — высота треугольных оснований.
Периметр треугольного основания (P) = сумма трех его сторон = a + b + c
Площадь треугольного основания (A) = ½ × основание × высота = ½ bh.
Мы знаем, что общая формула для площади боковой поверхности прямой призмы: LSA = PH, где P — периметр основания, а A — площадь основания.
Подставляя все значения в общую формулу, получаем,
The lateral surface area of a triangular prism = (a + b +c)H square units
where,
a, b, c are sides of triangular base
H is height of triangular prism
Мы знаем, что общая формула для полной площади поверхности прямой призмы такова: TSA = PH+2A, где P — периметр основания, A — площадь основания, а H — высота призмы.
Подставляя все значения в общую формулу, получаем
Общая площадь поверхности треугольной призмы = (a + b + c)H + 2 × (½ bh)
The total surface area of the triangular prism = (a + b + c)H + bh square units
where,
a, b, c are sides of triangular base
H is height of triangular prism
h is height of triangle
Прямоугольная призма
Призму с прямоугольным основанием называют прямоугольной призмой. Прямоугольная призма состоит из четырех прямоугольных поверхностей и двух параллельных прямоугольных оснований. Пусть высота призмы равна «h», а длина и ширина ее прямоугольных оснований равны «l» и «w» соответственно.
Периметр прямоугольного основания (P) = сумма его четырех сторон = 2 (l + w)
Площадь прямоугольного основания (A) = длина × ширина = l × w
Мы знаем, что общая формула для площади боковой поверхности прямой призмы: LSA = PH, где P — периметр основания, а A — площадь основания.
Подставляя все значения в общую формулу, получаем,
The lateral surface area of a rectangular prism = 2h(l + w) square units
where,
l is length
w is width
h is height
Мы знаем, что общая формула для полной площади поверхности прямой призмы такова: TSA = PH+2A, где P — периметр основания, A — площадь основания, а H — высота призмы.
Подставляя все значения в общую формулу, получаем
Общая площадь поверхности прямоугольной призмы = 2h(l + w) + 2(l × w).
= 2 лев.ч + 2 бел.ч + 2 л.ч.
The total surface area of the rectangular prism = 2 (lh + wh + lw) square units
where,
l is length
w is width
h is height
Квадратная призма
Призму с квадратным основанием называют квадратной призмой. Квадратная призма состоит из четырех прямоугольных поверхностей и двух параллельных квадратных оснований. Пусть высота призмы равна «h», а длины ее квадратных оснований равны «s».
Периметр квадратного основания (P) = сумма его четырех сторон = s + s + s + s = 4s
Площадь квадратного основания (A) = (длина стороны) 2 = s 2
Мы знаем, что общая формула для площади боковой поверхности прямой призмы: LSA = PH, где P — периметр основания, а A — площадь основания.
Подставляя все значения в общую формулу, получаем,
The lateral surface area of a square prism = 4sh square units
where,
s is side of square base
h is height of square prism
Мы знаем, что общая формула для полной площади поверхности прямой призмы такова: TSA = PH+2A, где P — периметр основания, A — площадь основания, а H — высота призмы.
Подставляя все значения в общую формулу, получаем
The total surface area of the square prism = [4sh + 2s2] square units
where,
s is side of square base
h is height of square prism
Пятиугольная призма
Призму с пятиугольным основанием называют пятиугольной призмой. Пятиугольная призма состоит из пяти наклонных прямоугольных поверхностей и двух параллельных пятиугольных оснований. Пусть «h» будет высотой пятиугольной призмы; «a и b» — длина апофемы и длины сторон пятиугольных оснований.
Периметр основания пятиугольника (P) = сумма его пяти сторон = 5b
Площадь основания пятиугольника (A) = 5/2 x (длина апофемы) x (длина стороны) = 5ab
Мы знаем, что общая формула для площади боковой поверхности прямой призмы: LSA = PH, где P — периметр основания, а A — площадь основания.
Подставляя все значения в общую формулу, получаем,
The lateral surface area of a pentagonal prism = 5bh square units
where,
b is side of pentagonal base
h is the height of pentagonal prism
Мы знаем, что общая формула для полной площади поверхности прямой призмы такова: TSA = PH+2A, где P — периметр основания, A — площадь основания, а H — высота призмы.
Подставляя все значения в общую формулу, получаем,
The total surface area of the pentagonal prism = [5bh + 5ab] square units
where,
b is side of pentagonal base
a is apothem length.
h is the height of pentagonal prism
Шестиугольная призма
Призму с шестиугольным основанием называют шестиугольной призмой. Шестиугольная призма состоит из шести наклонных прямоугольных поверхностей и двух параллельных шестиугольных оснований. Пусть «h» будет высотой шестиугольной призмы; «а» — длины сторон шестиугольных оснований.
Периметр основания шестиугольника (P) = сумма его шести сторон = 6a
Площадь основания шестиугольника (А) = 6 х (Площадь равностороннего треугольника)
А = 6 х (√3а 2/4 ) ⇒ А = 3√3а 2/2
Мы знаем, что общая формула для площади боковой поверхности прямой призмы: LSA = PH, где P — периметр основания, а A — площадь основания.
Подставляя все значения в общую формулу, получаем,
The lateral surface area of a hexagonal prism = 6ah square units
where,
a is side of hexagonal base
h is height of hexagonal base
Мы знаем, что общая формула для полной площади поверхности прямой призмы такова: TSA = PH+2A, где P — периметр основания, A — площадь основания, а H — высота призмы.
Подставляя все значения в общую формулу, получаем
The total surface area of the hexagonal prism = [6ah +3√3a2 ] square units
where,
a is side of hexagonal base
h is height of hexagonal base
Площадь поверхности формулы призмы
Форма | Основание призмы | Площадь боковой поверхности[Периметр основания × высота] | Общая площадь поверхности[(2 × площадь основания) + (периметр основания × высота)] |
|---|---|---|---|
Треугольная призма | Треугольник | (a + b +c)H квадратных единиц | (a + b + c)H + bh квадратных единиц |
Прямоугольная призма | Прямоугольник | 2h(l + w) квадратных единиц | 2 (левый + белый + левый) квадратных единиц |
Квадратная призма | Площадь | 4ш квадратных единиц | [4sh + 2s 2 ] квадратных единиц |
Пятиугольная призма | Пентагон | 5bh квадратных единиц | [5ab + 5bh] квадратных единиц |
Шестиугольная призма | Шестиугольник | 6ah квадратных единиц | [3√3a 2 + 6ah] квадратные единицы |
Примеры проблем
Задача 1: Какова высота призмы, площадь основания которой 36 квадратных единиц, периметр основания 24 единицы, а общая площадь поверхности 320 квадратных единиц?
Решение:
Given data,
Base area = 36 square units
Base perimeter = 24 units
The total surface area of the prism = 320 square units
We have,
The total surface area of the prism = (2 × Base Area) + (Base perimeter × height)
⇒ 320 = (2 × 36)+ (24 × h)
⇒ 24h = 248 ⇒ h = 10.34 units
Hence, the height of the given prism is 10.34 units.
Задача 2. Найдите площадь полной поверхности квадратной призмы, если высота призмы и длина стороны квадратного основания равны 13 см и 4 см соответственно.
Решение:
Given data,
The height of the square prism (h) = 13 cm
The length of the side of the square base (a) = 4 cm
We know that,
The total surface area of a square prism = 2a2 + 4ah
= 2 × (4)2 + 4 × 4 × 13
= 32 + 208 = 240 cm2
Hence, the total surface area of the given prism is 240 sq. cm.
Задача 3. Определить длину основания пятиугольной призмы, если ее общая площадь равна 100 квадратных единиц, а высота и длина апофемы равны 8 единицам и 5 единицам соответственно.
Решение:
Given data,
The total surface area of the pentagonal prism = 100 square units
The height of the prism (h) = 8 units
Apothem length (a) = 5 units
We know that,
The total surface area of the pentagonal prism = 5ab + 5bh
⇒ 100 = 5b (a+ h)
⇒ 100/5 = b (5 + 8)
⇒ 20 = b × (13) ⇒ b = 25/16 = 1.54 units
Hence, the base length is 1.54 units
Задача 4. Определить высоту прямоугольной призмы и полную площадь прямоугольной призмы, если площадь ее боковой поверхности равна 540 кв. см, а длина и ширина основания равны 13 см и 7 см соответственно.
Решение:
Given data,
The length of the rectangular base (l) = 13 cm
The width of the rectangular base (w) = 7 cm
The lateral surface area of the prism = 540 sq. cm
We have,
The lateral surface area of the prism = Base perimeter × height
⇒ 540 = 2 (l + w) h
⇒ 2 (13 + 7) h = 540
⇒ 2 (20) h = 540 ⇒ h = 13.5 cm
We know that,
The total surface area of the rectangular prism = 2 (lw + wh + lh)
= 2 × (13 × 7 + 7 × (13.5) + 13 × (13.5))
= 2 × (91 + 94.5 + 175.5) = 722 sq. cm
Hence, the height and total surface area of the given rectangular prism are 13.5 cm and 722 sq. cm, respectively.
Задача 5: Определить площадь поверхности правильной шестиугольной призмы, если высота призмы 12 дюймов, а длина стороны основания 5 дюймов.
Решение:
Given data,
The height of the prism (h) = 12 in
The length of the side of the base (a) = 6 in
The surface area of a regular hexagonal prism = 6ah + 3√3a2
= 6 × 5 × 12 + 3√3(5)2
= 360 + 75√3
= 360 + 75 × (1.732) = 489.9 sq. in
Hence, the surface area of the given prism is 489.9 sq. in.
Задача 6: Вычислите боковую и общую площади поверхности треугольной призмы, периметр основания которой равен 25 дюймам, длина основания и высота треугольника равны 9 дюймам и 10 дюймам, а высота призмы равна 14 дюймам.
Решение:
Given data,
The height of the prism (H) = 14 inches
The base perimeter of the prism (P) = 25 inches
The base length of the triangle = 9 inches
The height of the triangle = 10 inches
We know that,
The lateral surface area of the prism = Base perimeter × height
= 25 × 14= 350 sq. in
Area of the triangular base (A) = ½ × base × height = 1/2 × 9 × 10 = 45 sq. in
The total surface area of the triangular prism = 2A + PH
= 2 × 45 + 25 × 14 = 90 + 350 = 440 sq. in
Hence, the prism’s lateral and total surface areas are 350 sq. in and 440 sq. in, respectively.