Пи2 рациональное или иррациональное число?

Рациональное число — это тип действительного числа, который имеет форму p/q, где q не равно нулю. Любая дробь с ненулевым знаменателем является рациональным числом. Некоторые из примеров рациональных чисел: 1/2, 1/5, 3/4 и так далее. Число «0» также является рациональным числом, поскольку мы можем представить его во многих формах, таких как 0/1, 0/2, 0/3 и т. д. Но 1/0, 2/0, 3/0 и т. д. , не рациональны, так как они дают нам бесконечные значения. Кроме того, проверьте здесь иррациональные числа и сравните их с рациональными числами.

Рациональные числа и иррациональные числа

Есть разница между рациональными и иррациональными числами. Дробь с ненулевым знаменателем называется рациональным числом. Число ½ является рациональным числом, потому что оно читается как целое число 1, деленное на целое число 2. Все числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Рациональные числа могут быть положительными, отрицательными или нулевыми. При указании отрицательного рационального числа знак минус ставится либо перед, либо с числителем числа, что является стандартной математической записью. Например, мы обозначаем минус 5/2 как -5/2.

Иррациональное число не может быть записано в виде простой дроби, но может быть представлено десятичной дробью. Он имеет бесконечные неповторяющиеся цифры после запятой. Некоторые из распространенных иррациональных чисел:

Пи (π) = 3,142857…

Число Эйлера (e) = 2,7182818284590452…

√2 = 1,414213…

Алгебраические и трансцендентные числа

Набор полиномов с коэффициентами в Z, Q, R или C обозначается Z[x], Q[x], R[x] и C[x] соответственно.

Элемент x∈R называется алгебраическим числом, если оно удовлетворяет условию p(x)=0, где p — ненулевой многочлен от Z[x]. В противном случае оно называется трансцендентным числом.

Алгебраическое число: если r является корнем ненулевого полиномиального уравнения

a _n x ⁿ +a _(n-1) x ^(n-1) +…+a ₁ x+a ₀ = 0……..(1)

где все коэффициенты являются целыми числами (или, что то же самое, рациональными числами) и r удовлетворяет аналогичному уравнению степени <n, тогда говорят, что r является алгебраическим числом степени n.

Число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.

Как правило, алгебраические числа являются сложными, но они также могут быть действительными. Примером комплексного алгебраического числа является 'i' , а примером действительного алгебраического числа является √2 ,

Если вместо целых чисел a _i в приведенном выше уравнении являются алгебраическими числами b _i , то любой корень данного уравнения является алгебраическим числом.

b _n x ⁿ +b _(n-1) x ^(n-1) +…+b ₁ x+b ₀ = 0……..(2)

Если альфа - алгебраическое число степени n, удовлетворяющее полиномиальному уравнению

(х-альфа)(х-бета)(х-гамма)… = 0,

затем есть n-1 других алгебраических чисел бета, гамма, …, называемых сопряженными альфа. Кроме того, если альфа удовлетворяет любому другому алгебраическому уравнению, то его сопряженные элементы также удовлетворяют тому же уравнению.

Трансцендентные числа

Трансцендентное число — это число, которое не является алгебраическим, то есть не является корнем ненулевого многочлена конечной степени с рациональными коэффициентами. Самыми известными трансцендентными числами являются π и e.

Трансцендентальная функция

Подобно тому, как трансцендентное число «не алгебраично», так и трансцендентная функция также «не алгебраична».

Более формально трансцендентная функция — это функция, которая не может быть построена за конечное число шагов из элементарных функций и их обратных функций.

Примером трансцендентной функции является синусоидальная функция sin(x).

Является ли число π ² рациональным или иррациональным?

Доказательство :

π is transcendental, meaning that it is not the root of any polynomial equation with integer coefficients.

Hence,

π² is transcendental and irrational too.

If π² were rational, then it would be the root of an equation of the form:

ax + b = 0 for some integers a and b

Then π would be the root of the equation:

ax² + b = 0

Since π is not the root of any polynomial with integer coefficients, let alone a quadratic, this is not possible.

Further, if π² was the root of any polynomial equation with integer coefficients then π would be the root of the same equation with each x replaced by x². So since π is transcendental, so is π².

Примеры вопросов

Вопрос 1: Является ли 1,33 рациональным числом?

Отвечать:

Yes, 1.33 is a Rational Number. As rational numbers can be expressed as decimals values as well as fractions.  The number can also be written as 133/100 which is the ratio of two integers.

Take a look at the below proof.

Proof:

The number 1.33 can be represented as shown below:

=>1.33/1

This can be further broken down as,

=>133/100

The number 133/100 is the ratio of two integers that are 133 integers divided by 100 integers and expressed in fraction form (as p/q where q is not equal to 0).

Вопрос 2: Является ли (√2) ² рациональным числом?

Отвечать:

Yes, (√2)² is a Rational Number. As rational numbers can be expressed as decimals values as well as fractions.  The number can also be written as (√2)² which is the ratio of two integers.

Take a look at the below proof.

Proof:

The number (√2)² can be represented as shown below:

=> (√2)² = 2 

This can be further broken down as,

=> 2/1

The number 2/1is the ratio of two integers that are 2 integers divided by 1 integers and expressed in fraction form (as p/q where q is not equal to 0).

Вопрос 3: Является ли 2,33 рациональным числом?

Отвечать:

Yes, 2.33 is a Rational Number. As rational numbers can be expressed as decimals values as well as fractions.  The number can also be written as 233/100 which is the ratio of two integers.

Take a look at the below proof.

Proof:

The number 2.33 can be represented as shown below:

=>2.33/1

This can be further broken down as,

=>233/100

The number 233/100 is the ratio of two integers that are 233 integers divided by 100 integers and expressed in fraction form (as p/q where q is not equal to 0).

Вопрос 4: Является ли (√3) ² рациональным числом?

Отвечать:

Yes, (√3)² is a Rational Number. As rational numbers can be expressed as decimals values as well as fractions.  The number can also be written as (√3)² which is the ratio of two integers.

Take a look at the below proof.

Proof:

The number (√3)² can be represented as shown below:

=> (√3)² = 3 

This can be further broken down as,

=> 3/1

The number 3/1is the ratio of two integers that are 3 integers divided by 1 integers and expressed in fraction form (as p/q where q is not equal to 0).