Перестановки и комбинации

Перестановка и комбинация — это способы записи группы объектов путем выбора их в определенном порядке и формирования их подмножеств. Для упорядочивания групп данных в определенном порядке используются формулы перестановки и комбинации. Выбор данных или объектов из определенной группы называется перестановкой, тогда как порядок их расположения называется комбинацией. Формулы перестановки и комбинации очень полезны при решении различных математических задач.

Перестановка

Это различные интерпретации предоставленного количества компонентов, переносимых один за другим, или некоторые, или все одновременно. Например, если у нас есть два компонента A и B, то вероятны два исполнения: AB и BA.

Количество перестановок, когда компоненты «r» расположены из общего количества компонентов «n», равно ⁿ P _r = n! / (н – р)! . Например, пусть n = 3 (A, B и C) и r = 2 (все перестановки размера 2). Ответ 3!/(3 – 2)! = 6. Шесть перестановок: AB, AC, BA, BC, CA и CB.

Объяснение формулы перестановки

A permutation is a type of performance that indicates how to permute. If there are three different numerals 1, 2 and 3 and if someone is curious to permute the numerals taking 2 at a moment, it shows (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), and (3, 2). That is it can be accomplished in 6 methods. 

Here, (1, 2) and (2, 1) are distinct. Again, if these 3 numerals shall be put handling all at a time, then the interpretations will be (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) and (3, 2, 1) i.e. in 6 ways. 

In general, n distinct things can be set taking r (r < n) at a time in n(n – 1)(n – 2)…(n – r + 1) ways. In fact, the first thing can be any of the n things. Now, after choosing the first thing, the second thing will be any of the remaining n – 1 things. Likewise, the third thing can be any of the remaining n – 2 things. Alike, the r^th thing can be any of the remaining n – (r – 1) things. 

Hence, the entire number of permutations of n distinct things carrying r at a time is n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)] which is written as ⁿ P_r. Or, in other words, 

ⁿ P_r = n!/(n – r)!

Комбинация

Это отдельные секции общего количества компонентов, переносимых один за другим, или некоторые, или все одновременно. Например, если есть два компонента A и B, то есть только один способ выбрать две вещи, выбрать их обе.

Количество комбинаций, когда 'r' компонентов выбираются из 'n' компонентов, равно ⁿ C _r = n! / [(г!) х (п – г)! ]. Например, пусть n = 3 (A, B и C) и r = 2 (все комбинации размера 2). Ответ: 3!/((3 – 2)! × 2!) = 3. Шесть комбинаций: AB, AC и BC.

ⁿ C _r = ⁿ C _{(n – r)}

Note: In the same example, we have distinct points for permutation and combination. For, AB and BA are two distinct items but for selecting, AB and BA are the same.

Объяснение формулы комбинации

Combination, on the further hand, is a type of pack. Again, out of those three numbers 1, 2, and 3 if sets are created with two numbers, then the combinations are (1, 2), (1, 3), and (2, 3). 

Here, (1, 2) and (2, 1) are identical, unlike permutations where they are distinct. This is written as ³C₂. In general, the number of combinations of n distinct things taken r at a time is, 

ⁿ C_r = n! /[r! × (n – r)!] = ⁿP_r/r!

Формулы перестановки и комбинации

Для решения задач перестановки и комбинирования используются различные формулы, некоторые важные из них приведены ниже:

Формула перестановки

Формула перестановки используется для выбора r вещей из n разных вещей в определенном порядке, и замена не допускается.

Комбинированная формула

Комбинационная формула используется для выбора r вещей из n разных вещей, где порядок выбора не важен и замена не допускается.

Вывод формул перестановки и комбинации

Формула перестановок: общее количество перестановок набора из n объектов, если одновременно берутся r объектов P(n,r) = n!/(nr)!, где [n>= r]

Формула комбинации: общее количество комбинаций набора из n объектов, если одновременно брать r объектов C(n,r) = n!/[r !(nr)!], где [n>= r]

Вывод этих формул обсуждается ниже в этой статье.

Вывод формулы перестановок

Перестановка - это выбор r различных объектов из n объектов без замены, и там, где важен порядок выбора, по фундаментальной теореме подсчета мы знаем

п (п, г) = п . (n-1) . (n-2) . (n-3)…… (n-(r+1))

Умножение и деление выше на (nr) (nr-1) (nr-2)……….. 3. 2. 1,

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n−r−2)…3,2 .1]/[(n−r)(n−r−1)(n−r−2)…3.2.1]

P (n, r) = n!/(n−r)!

Таким образом, формула для P (n, r) получена.

Вывод формулы комбинаций

Комбинация — это выбор r элементов из n элементов, когда порядок выбора не имеет значения. Его формула рассчитывается как

C(n,r) = общее количество перестановок/количество способов упорядочить r различных объектов.
[Поскольку по фундаментальной теореме счета мы знаем, что число способов расположить r различных предметов r способами = r!]

C(n,r) = P(n,r)/r!

C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Таким образом, формула для P (n, r) получена.

Разница между перестановкой и комбинацией

Различные различия между перестановкой и комбинацией можно понять по следующим пунктам:

• Формулы перестановки используются, когда важен порядок расположения. Формулы комбинаций используются, когда нужно найти количество возможных групп, а порядок расположения не важен.
• Формулы перестановки используются, когда нужно отсортировать разные вещи. Комбинированные формулы используются, когда необходимо отсортировать похожие вещи.
• Перестановка двух вещей из трех данных вещей a, b, c есть ab, ba, bc, cb, ac, ca, тогда как соединение двух вещей из трех данных вещей a, b, c есть ab, bc, ca. При перестановке ab и ba считаются разными расположениями, тогда как в комбинации они считаются похожими расположениями.
• Различное возможное расположение вещей находится по формуле ⁿ P _r = n!/(n – r)! в то время как другой возможный выбор вещей находится по ⁿ C _r = n! /{р! × (п – г)!}
• Как правило, для заданного набора значений n из r значение перестановки всегда больше, чем значение комбинации, в множитель (r!).

Решенный пример перестановки и комбинации

Пример 1: Найдите количество перестановок и комбинаций n = 9 и r = 3 .

Решение:

Given, n = 9, r = 3

Using the formula given above:

Permutation:

ⁿP_r = (n!) / (n – r)! 

= (9!) / (9 – 3)! 

= 9! / 6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6! 

= 504

Combination:

ⁿC_r = n!/r!(n − r)!

= 9!/3!(9 − 3)!

= 9!/3!(6)!

= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

= 84

Пример 2. Сколькими способами из 6 мужчин и 5 женщин можно выбрать комитет, состоящий из 4 мужчин и 2 женщин?

Решение:

Choose 4 men out of 6 men = ⁶C₄ ways = 15 ways

Choose 2 women out of 5 women = ⁵C₂ ways = 10 ways

The committee can be chosen in ⁶C₄ × ⁵C₂  = 150 ways.

Пример 3: Какие значимые слова можно составить, используя 2 буквы слова «ЛЮБОВЬ»?

Решение:

The term “LOVE” has 4 distinct letters.

Therefore, required number of words = ⁴P₂ = 4! / (4 – 2)!

Required number of words = 4! / 2! = 24 / 2 = 12

Пример 4: Сколько слов из 5 согласных и 3 гласных можно составить из 5 согласных и 2 гласных?

Решение:

Number of ways of choosing 3 consonants from 5.

= ⁵C₃

Number of ways of choosing 2 vowels from 3.

= ³C₂

Number of ways of choosing 3 consonants from 2 and 2 vowels from 3.

= ⁵C₃ × ³C₂

= 10 × 3

= 30

It means we can have 30 groups where each group contains a total of 5 letters (3 consonants and 2 vowels).

Number of ways of arranging 5 letters among themselves

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Hence, the required number of ways

= 30 × 120

= 3600

Пример 5: Сколько различных комбинаций вы получите, если у вас есть 5 предметов и вы выбрали 4?

Решение:

Insert the given numbers into the combinations equation and solve. “n” is the number of items that are in the set (5 in this example); “r” is the number of items you’re choosing (4 in this example):

C(n, r) = n! / r! (n – r)! 

= 5! / 4! (5 – 4)!

= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

= 120/24 

= 5

The solution is 5.

Пример 6: Из 6 согласных и 3 гласных сколько можно составить выражений из 2 согласных и 1 гласной?

Решение:

Number of ways of selecting 2 consonants from 6.

= ⁶C₂

Number of ways of selecting 1 vowels from 3.

= ³C₁

Number of ways of selecting 3 consonants from 7 and 2 vowels from 4.

= ⁶C₂ × ³C₁

= 15 × 3

= 45

It means we can have 45 groups where each group contains a total of 3 letters (2 consonants and 1 vowels).

Number of ways of arranging 3 letters among themselves.

= 3! = 3 × 2 × 1

= 6

Hence, the required number of ways.

= 45 × 6

= 270

Пример 7: В скольких различных формах буквы термина «ТЕЛЕФОН» могут быть организованы так, чтобы гласные постоянно шли вместе?

Решение:

The word ‘PHONE’ has 5 letters. It has the vowels ‘O’,’ E’, in it and these 2 vowels should consistently come jointly. Thus these two vowels can be grouped and viewed as a single letter. That is, PHN(OE).

Therefore we can take total letters like 4 and all these letters are distinct.

Number of methods to organize these letters.

= 4! = 4 × 3 × 2 × 1

= 24

All the 2 vowels (OE) are distinct.

Number of ways to arrange these vowels among themselves.

= 2! = 2 × 1

= 2

Hence, the required number of ways.

= 24 × 2

= 48.

Часто задаваемые вопросы о перестановках и комбинациях

Вопрос 1: Что такое факториал формулы?

Отвечать:

Factorial formula is used for the calculation of permutations and combinations. The factorial formula for n! is given as

n! = 1 × 2 × 3 × 4 × …….× n

For example, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Вопрос 2: Что представляет собой ⁿ C _r ?

Отвечать:

ⁿC_r represents the number of combinations that can be made from “n” objects taking “r” at a time.

Вопрос 3: Что вы подразумеваете под перестановками и комбинациями?

Отвечать:

A permutation is an act of arranging things in a specific order. Combinations are the ways of selecting r objects from a group of n objects, where the order of the object chosen does not affect the total combination.

Вопрос 4: Напишите примеры перестановок и сочетаний.

Отвечать:

The number of 3-letter words that can be formed by using the letters of the word says, HELLO; ⁵P₃ = 5!/(5-3)! this is an example of a permutation.
The number of combinations we can write the words using the vowels of the word HELLO; ⁵C₂ =5!/[2! (5-2)!], this is an example of a combination.

Вопрос 5: Напишите формулы нахождения перестановок и сочетаний.

Отвечать:

• Formula for calculating permutations: ⁿPr = n!/(n-r)!
• Formula for calculating combinations: ⁿCr = n!/[r! (n-r)!]

Вопрос 6: Напишите несколько реальных примеров перестановок и комбинаций.

Отвечать:

Sorting of people, numbers, letters, and colors are some examples of permutations.
Selecting the menu, clothes, and subjects, are examples of combinations.

Вопрос 7: Каково значение 0!?

Отвечать:

The value of 0! = 1, is very useful in solving the permutation and combination problems.