Параллельные линии

Параллельные прямые определяются как те прямые, которые лежат в одной плоскости и всегда равноудалены друг от друга и, следовательно, никогда не пересекаются друг с другом, называются параллельными прямыми. Параллельные прямые не пересекаются и пересекаются в бесконечности. В общих чертах линии можно разделить на параллельные линии, пересекающиеся линии и перпендикулярные линии. Давайте подробно узнаем о параллельных линиях, их свойствах, аксиомах, теоремах и примерах.

Что такое параллельные линии?

Параллельные прямые — это две или более прямых, которые всегда параллельны друг другу и лежат в одной плоскости. Как бы ни были длинны параллельные линии, они никогда не пересекутся. Параллельные прямые и пересекающиеся прямые противоположны друг другу. Параллельные линии — это линии, которые ни в коем случае не пересекаются и не имеют шансов встретиться. На приведенной ниже диаграмме параллельные прямые показаны двумя способами: прямая a параллельна прямой b, а прямая x параллельна прямой y.

Параллельные прямые и поперечные

Когда прямая пересекает две параллельные прямые или прямые, которые не параллельны, она называется секущей. Из-за поперечной линии создается множество отношений между парой углов. Они могут быть дополнительными или конгруэнтными углами. Предположим, что данная диаграмма образует углы a, b, c, d и p, q, r, s за счет трансверсали. Эти восемь отдельных углов, образованных параллельными прямыми и поперечными, отражают некоторые свойства.

Углы в параллельных линиях

Углы образуются за счет поперечных и параллельных линий 1 и 2. Давайте посмотрим на свойства, которыми обладают эти углы:

• Альтернативные внутренние углы: Альтернативные внутренние углы создаются поперечными параллельными линиями, и они равны по своей природе. Например, здесь ∠c = ∠p и ∠d = ∠q. Лучший способ определить альтернативные внутренние углы — создать в уме букву «Z». Углы, образованные Z, являются альтернативными внутренними углами и равны друг другу.
• Альтернативные внешние углы: Альтернативные внешние углы также равны по своей природе. На диаграмме выше альтернативные внешние углы равны ∠a = ∠r и ∠b = ∠s.
• Последовательные внутренние углы: Последовательные внутренние углы также известны как совнутренние углы. Это углы, образованные поперечными внутри параллельных прямых, и они дополняют друг друга. На приведенной выше диаграмме ∠d + ∠p = 180° и ∠c + ∠q = 180°.
• Вертикально противоположные углы: Вертикально противоположные углы образуются при пересечении двух прямых. Противоположные углы называются вертикально противоположными углами и параллельны друг другу. На приведенной выше диаграмме ∠a = ∠c, ∠b = ∠d, ∠p = ∠r, ∠q = ∠s.
• Соответственные углы: Соответственные углы параллельных прямых равны друг другу. На приведенной выше диаграмме ∠a = ∠p, ∠d = ∠s, ∠b = ∠q и ∠c = ∠r.

Свойства параллельных линий

Ниже приведены некоторые важные свойства параллельных прямых:

• Две или более линий можно считать параллельными, если даже при продолжении линий нет шансов, что линии встретятся или пересекутся (пересекутся).
• Параллельные линии обладают особым свойством сохранять одинаковый наклон.
• Расстояние между параллельными линиями всегда остается одинаковым. Примечание. Здесь линии, которые считаются параллельными, не обязательно должны быть равными по своей длине, но обязательным условием для того, чтобы линии считались параллельными, является то, что расстояние между линиями остается одинаковым, даже на продолжении линий.
• Параллельные линии обозначаются символом трубы (||). Например: если две прямые А и В параллельны друг другу. Их можно представить параллельными друг другу через A || Б.

Как узнать, параллельны ли прямые?

Когда две или более параллельных прямых пересекаются секущей, тогда угол, образуемый секущей с параллельными линиями, проявляет некоторые отличные свойства:

• Параллельные прямые при пересечении секущей имеют равные внутренние углы.
• Параллельные прямые при пересечении секущей имеют равные внешние углы.
• Параллельные прямые при пересечении секущей имеют равные соответствующие углы.
• Параллельные прямые при пересечении секущей имеют последовательные внутренние углы с той же стороны, что и дополнительные.

Нарушение любого из вышеперечисленных свойств приведет к тому, что линии не будут считаться параллельными линиями.

Уравнение параллельных линий

В уравнении параллельной линии наклон линий всегда одинаков. Уравнение прямой линии имеет форму пересечения наклона, то есть y = mx + c, где m — наклон. Для параллельных прямых m будет одинаковым; однако перехват не то же самое. Например, y = 3x + 8 и y = 3x + 2 параллельны друг другу. Следовательно, в уравнении параллельной прямой точки пересечения разные и не имеют общих точек, но наклон одинаковый, чтобы линии были параллельны друг другу.

Параллельные прямые, аксиомы и теоремы

Ниже приведены аксиомы и теоремы параллельных прямых:

Аксиома соответственных углов: соответствующие углы равны друг другу. В аксиомах соответствующих углов говорится, что если истинно обратное свойство, то есть если причина свойства истинна, утверждение также должно быть истинным. Аксиома соответствующих углов гласит, что если соответствующие углы равны, то это означает, что прямые, на которых проведена секущая, параллельны друг другу.

Теорема 1: Если на двух параллельных прямых провести секущую, то вертикально противоположные углы будут равны. Из приведенного ниже рисунка:

To Prove ∠3 = ∠5, ∠4 = ∠6

Proof: ∠1 = ∠3 and ∠5 = ∠7 (Vertically opposite angles)

∠1 = ∠5 (Corresponding angles)

Therefore, ∠3 = ∠5.

Similarly, ∠4 = ∠6.

The converse of the theorem is also true; that is, if the vertically opposite angles are equal to each other, the lines are parallel in nature.

Теорема 2: Если две прямые параллельны друг другу и пересекаются секущей, то пары внутренних углов дополняют друг друга.

To prove: ∠4 + ∠5 = 180° and ∠3 + ∠6 = 180°.

Proof: ∠4 = ∠6 (Alternate interior angles)

∠6 + ∠5 = 180° (Linear Pair)

Therefore, ∠4 + ∠5 = 180°

Similarly, ∠3 + ∠6 = 180°.

The converse of the theorem is also true; that is, if the interior angles are supplementary to each other, the lines are parallel in nature.

Символ параллельных линий

Символ параллельных линий обозначается как || поскольку они никогда не встречаются и не пересекаются, независимо от того, как долго они продлеваются. Итак, для обозначения параллельных прямых используется символ ||. Например, если AB параллелен XY, мы запишем это как AB || XY.

Применение параллельных линий в реальной жизни

Параллельные линии легко наблюдать в реальной жизни. Одним из лучших примеров параллельных линий являются железнодорожные пути. Эти пути в реальной жизни буквально параллельны линиям, так как они должны быть всегда параллельны друг другу, чтобы любой ценой зацепить колеса поезда. Некоторые другие примеры параллельных линий из реальной жизни — это края альмиры, шкалы (линейки) и т. д.

Решенные примеры на параллельных линиях

Пример 1: На данном рисунке угол CMQ равен 45. Найдите остальные углы.

Решение:

∠CMQ = 45°.

From vertically opposite angles,

∠PMD = 45°.

From linear pair:

∠PMD + ∠PMC = 180°.

∠PMC = 135°.

From linear pair:

∠CMQ + ∠DMQ = 180°

∠DMQ = 135°.

From Linear pair:

∠DMQ + ∠DMP = 180°.

∠DMP = 135°.

From linear pair:

∠CMP + ∠CMQ = 180°.

∠CMP = 135°

∠ANP = ∠CMP = 135°. (Corresponding angles)

∠BNP = ∠DMQ = 135°. (Corresponding angles)

Пример 2: проверьте, параллельны ли следующие линии.

Решение:

Since the distance between the two lines is continuously decreasing, the lines can’t be called parallel lines.

Пример 3: проверьте, параллельны ли следующие линии.

Решение:

Since on extending, the two lines don’t meet each other and the distance between the two lines remains the same. So, yes the lines can be called Parallel Lines.

Пример 4: Найдите значения x и y на данном рисунке, где AB параллельна CD.

Решение:

In the above figure:

2x + 5y + 3x = 180 (Linear pair)

5x + 5y = 180

x + y = 36

x + y = 3x (Corresponding angles)

36 = 3x

x = 12

x + y = 36

12 + y = 36

y = 24

Часто задаваемые вопросы о параллельных линиях

Вопрос 1: Что такое определение параллельных линий?

Отвечать:

Parallel lines are the lines that are always at equal distances from each other, and they meet at infinity. That is, they do not meet when extended. The symbol for parallel lines is ||. AB || CD means that line AB is parallel to line CD.

Вопрос 2: Каково расстояние между параллельными прямыми?

Отвечать:

The distance between two parallel lines can be anything, but they remain the same throughout. Parallel lines always have equal distance between them.

Вопрос 3: Каков наклон параллельных прямых?

Отвечать:

If two lines are parallel, they will have the same slope. For example, say the slope of 1 line is y = 3x + 8. Now, the slope of this line is 3; if there is another line having a slope of 3, that line will be parallel to the given line.

Вопрос 4: Где пересекаются две параллельные прямые?

Отвечать:

Two parallel lines intersect at infinity. The parallel lines never intersect each other, no matter how much the lines are extended. Therefore, it is said that parallel lines meet at infinity.

Вопрос 5: Какие бывают типы углов в параллельных прямых?

Отвечать:

When a pair of parallel lines intersected by a transversal, it forms many pairs of angles. They are corresponding angles, alternate interior angles, alternate exterior angles, vertically opposite angles, and linear pair angles.

Вопрос 6: Каково уравнение прямой, параллельной оси x?

Отвечать:

The equation of the line parallel to the x-axis is y = k, where k is the distance from the x-axis at which the line is placed.

Вопрос 7: Каковы примеры параллельных линий в реальной жизни?

Отвечать:

There are many different examples of parallel lines in real life. Some of them are mentioned below:

• The railway tracks are parallel to each other.
• The zebra crossings have parallel white lines.
• The edges of a ruler/scale are parallel to each other.

Статьи по Теме

• Parallel Lines Formula
• Properties of Parallel Lines