Парабола

Парабола — это график квадратного уравнения. Частный случай квадратичной функции называется параболической функцией. Движение различных объектов называется параболическим движением, например движение камня, брошенного под действием силы тяжести. В этой статье мы выведем формулу параболы, различные формы параболы и ее свойства.

Что такое Парабола?

Парабола — это уравнение конкретной кривой, так что точка на кривой всегда равноудалена от фиксированной точки и фиксированной линии. Неподвижная точка является фокусом параболы, а неподвижная линия является направляющей параболы. Геометрическое место точки, равноудаленной от данной точки (фокуса) и данной прямой (направляющей), называется параболой.

Геометрия — это область математики, которая имеет дело с размером, положением, формой, углами и размерами различных вещей. Двухмерная геометрия включает в себя такие формы, как квадраты, круги, треугольники, шестиугольники и т. д. Двухмерные фигуры имеют только 2 измерения. Трехмерная геометрия включает в себя такие формы, как кубы, цилиндры, конусы и т. д. Трехмерные фигуры имеют 3 измерения. Но все эти формы сделаны из линий.

Конус является частью трехмерной геометрии и представляет собой трехмерную форму. Но даже несмотря на то, что это трехмерное твердое тело, множество кривых может быть получено путем пересечения плоскости и прямого кругового конуса под разными углами. Форма кривой изменяется при смещении положения плоскости сечения.

Стандартное уравнение параболы

Общая форма уравнения параболы имеет вид

y² = 4ax

В этой форме директриса параллельна оси Y.

Если направляющая параллельна оси x, то стандартное уравнение параболы определяется как

x² = 4ay

Если параболы нарисованы в чередующихся квадрантах, то их уравнение задается как y ² = -4ax и x ² = -4ay. Таким образом, даны четыре уравнения параболы:

• у ² = 4акс
• у ² = – 4ах
• х ² = 4ay
• х ² = - 4ay

Парабола

Парабола — это уравнение кривой, при котором точка кривой равноудалена от фиксированной точки и фиксированной прямой. Неподвижная точка называется фокусом параболы, а неподвижная линия называется направляющей параболы.

Парабола получается, когда прямой круговой конус разрезается секущей плоскостью под любым углом и параллельно наклонной высоте конуса.

General equation of a parabola is:

 y = a(x-h)² + k
or
x = a(y-k)² +h, 

where (h , k) represents the vertex. 

Важные термины, связанные с параболой

• Фокус: точка (a, 0) называется фокусом параболы.
• Директриса: линия, проведенная перпендикулярно базовой оси и проходящая через точку (-a, 0), является директрисой параболы. Директриса всегда перпендикулярна оси параболы.
• Фокусная хорда: Хорда, проходящая через фокус параболы, называется фокальной хордой параболы. Фокусная хорда всегда пересекает параболу в двух различных точках.
• Фокусное расстояние: Расстояние от любой точки (x ₁ , y ₁ ), лежащей на параболе, от фокуса параболы называется фокусным расстоянием. Фокусное расстояние равно перпендикулярному расстоянию данной точки от директрисы.
• Прямая кишка: хорда, перпендикулярная оси параболы и проходящая через фокус параболы, называется прямой кишкой. Точками окончания широкой прямой кишки являются (а, 2а), (а, -2а) и их длина принимается равной LL' = 4а.
• Эксцентриситет: отношение расстояния точки от фокуса и расстояния точки от директрисы называется эксцентриситетом. Эксцентриситет параболы равен 1.

Стандартное уравнение правильной параболы

 y² = 4ax

For the above, the equation the vertex is (0,0)

Focus: for the above, (a,0)

Directrix: It is a line drawn parallel to the y axis and passing through (-a,0) 

Latus Rectum: It is a focal cord passing through the focus of the parabola.

Eccentricity: It is the ratio of the distance between a point from focus and the distance of the same point from the directrix. For parabola, the eccentricity value is 1.

Вывод уравнения параболы

Возьмем точку P с координатами (x, y) на параболе, лежащей на плоскости XY. По определению параболы расстояние любой точки параболы от фокуса и от директрисы равно. Теперь расстояние P от направляющей задается PB, где координаты B равны (-a, y), поскольку она лежит на направляющей, а расстояние P от фокуса равно PF, приравнивая PB, и PF мы получаем,

Вывод уравнения параболы

Согласно приведенному выше обсуждению, мы имеем PF = PB

По формуле расстояния

PF = √(x−a) ² +(y−0) ² = √{(x−a) ² +y ² }…..(1)

PB = √{(x+a) ² }……(2)

По уравнению (1) и (2)

√{(x−a) ² +y ² } = √{(x+a) ² }

Сравнивая обе стороны,

(х – а) ² + у ² = (х + а) ²

х ² + а ² - 2акс + у ² = х ² + а ² + 2ах

у ² - 2акс = 2акс

y² = 4ax

это искомое уравнение параболы

Различные формы параболы

y² = 4ax

Equation of the axis is y = 0

Equation of the directrix is x = -a 

Vertex of the parabola is at  (0, 0)

Focus of the parabola is (a, 0)

Length of the Latus rectum is 4a

y² = -4ax

Equations of the axis is y  = 0

Equations of the directrix is x=a

Vertex of the parabola is at  (0 , 0)

Focus of the parabola is (-a , 0)

Length of the Latus rectum is 4a

x²=4ay

Equations of the axis is x = 0

Equations of the directrix is y =-a

Vertex of the parabola is at  (0 , 0)

Focus of the parabola is (0 , a)

Length of the Latus rectum is 4a

x² = -4ay

Equations of the axis is x = 0

Equations of the directrix is y =  a

Vertex of the parabola is at  (0 , 0)

Focus of the parabola is (0 , -a)

Length of the Latus rectum is 4a

Параметрические координаты параболы

Для параболы y ² = 4ax, если мы возьмем x = at ² и y = 2at для любого значения « t », они будут удовлетворять уравнению параболы, координаты (at ² , 2at) называются параметрическими координатами, и « t» называется параметром.

Таким образом, x = at ² и y = 2at называются параметрическими уравнениями параболы y ² = 4ax

Аналогично, параметрическая форма параболы x ² = 4ay равна x = 2at, y = at ²

Общие уравнения параболы

Общее уравнение параболы задается формулой y = a(x – h) ² + k или x = a(y – k) ² +h, где (h, k) обозначает вершину параболы.

(Правильная форма) y = a(x – h) ² + k

(В сторону от) x = a(y – k) ² +h

Уравнение касательной к параболе

Касательные — это линии, которые касаются кривой только в одной точке. Таким образом, линия, касающаяся параболы ровно в одной точке, называется касательной к параболе. Существуют различные способы нахождения касательной параболы, которые обсуждаются ниже.

Уравнение касательной в точечной форме

Для данной параболы y ² = 4ax уравнение касательной в точке (x ₁ , y ₁ ) имеет вид yy ₁ = 2a(x+x ₁ ). где (x ₁ , y ₁ ) точка контакта между касательной и кривой.

Уравнение касательной в параметрической форме

Для данной параболы y ² = 4ax уравнение касательной в точке (при ² , 2at) имеет вид ty = x + at ² , где (at ² , 2at) — точка контакта касательной с кривой.

Уравнение касательной в форме наклона

Для данной параболы y ² = 4ax с наклоном m уравнение касательной в точке (a/m ² , 2a/m) имеет вид y = mx + a/m, где (a/m ² , 2a/m) равно точка соприкосновения касательной и кривой.

Решенные примеры уравнения параболы

Пример 1: Найти координаты фокуса, оси, уравнения директрисы и прямой кишки параболы y ² = 16x.

Решение:

Given equation of the parabola is: y² = 16x

Comparing with the standard form y² = 4ax,

4a = 16

a = 4

The coefficient of x is positive so the parabola opens to the right.

Also, the axis of symmetry is along the positive x-axis.

Therefore,

Focus of the parabola is (a, 0) = (4, 0).

Equation of the directrix is x = -a, i.e. x = -4 

Length of the latus rectum = 4a = 4(4) = 16

Пример 2: Найдите уравнение параболы, симметричной относительно оси y и проходящей через точку (3, -4).

Решение:

Given that the parabola is symmetric about the y-axis and has its vertex at the origin.

Thus, the equation can be of the form x² = 4ay or x² = -4ay, where the sign depends on whether the parabola opens upwards or downwards.

Since the parabola passes through (3, -4) which lies in the fourth quadrant, it must open downwards.

So, the equation will be: x² = -4ay

Substituting (3, -4) in the above equation,

(3)² = -4a(-4)

9 = 16a

a = 9/16

Hence, the equation of the parabola is: x² = -4(9/16)y 

                                                            4x² = -9y

Пример 3: Найти координаты фокуса, оси и уравнение директрисы и прямой кишки параболы y ² = 8x.

Решение:

Given equation of the parabola is: y² = 8x

Comparing with the standard form y² = 4ax,

4a = 8

a = 2

The coefficient of x is positive so the parabola opens to the right.

Also, the axis of symmetry is along the positive x-axis.

Therefore,

Focus of the parabola is (a, 0) = (2, 0).

Equation of the directrix is x = -a, i.e. x = -2

Length of the latus rectum = 4a = 4(2) = 8

Пример 4: Найти координаты фокуса, оси, уравнения директрисы и прямой кишки параболы y ² = 52x.

Решение:

Given equation of the parabola is: y² = 52x

Comparing with the standard form y² = 4ax,

4a = 52

a = 13

The coefficient of x is positive so the parabola opens to the right.

Also, the axis of symmetry is along the positive x-axis.

Therefore,

Focus of the parabola is (a, 0) = (13, 0).

Equation of the directrix is x = -a, i.e. x = -13

Length of the latus rectum = 4a = 4(13) = 52

Пример 5: Найти координаты фокуса, оси, уравнения директрисы и прямой кишки параболы x ² = 16y.

Решение:

Given equation of the parabola is: x² = 16y

Comparing with the standard form x² = 4ay,

4a = 16

a = 4

The coefficient of x is positive so the parabola opens upward.

Also, the axis of symmetry is along the positive x-axis.

Therefore,

Focus of the parabola is (0,a) = (0, 4).

Equation of the directrix is y= -a, i.e. y = -4

Length of the latus rectum = 4a = 4(4) = 16

Часто задаваемые вопросы о параболе

Вопрос 1: Что понимается под сопряженной осью параболы?

Отвечать:

A line that passes through the vertex of the parabola and is perpendicular to its transverse axis is called the conjugate axis of the parabola.

Вопрос 2: Перечислите несколько вариантов использования параболы.

Отвечать:

Parabolas are used for a variety of purposes some of them are

• Parabolic arch is used in the construction of various monuments.
• Parabolic mirrors are used in reflecting telescopes, satellites, etc.
• Parabolas are used in various mathematical calculations, such as tracing the path of a missile, the trajectory of a bullet, etc.

Вопрос 3: Как устроен график параболы?

Отвечать:

Graph of a parabola is in the shape of U.

Вопрос 4: Что такое эксцентриситет параболы?

Отвечать:

Eccentricity is defined as the ratio of the distances of any point of the conic section to its focus and the corresponding directrix. For parabola eccentricity is 1.

Вопрос 5: Напишите формулу длины широкой прямой кишки параболы.

Отвечать:

For parabola y² = 4ax, length of the latus rectum is calculated by 4a..

Вопрос 6: Что является вершиной параболы?

Отвечать:

The point of intersection of the parabola and both the conjugate axis is called the vertex of a parabola. If the equation of parabola is y² = 4ax, then the vertex is (0, 0).

Связанные ресурсы

• Equation of Circle
• Equation of Ellipse
• Equation of Hyperbola