Объем и площадь поверхности цилиндра Формула

В геометрии цилиндр представляет собой трехмерную форму с двумя параллельными круглыми дисками или основаниями, разделенными определенным расстоянием. На фиксированном расстоянии от центра два круглых основания соединены изогнутой поверхностью. Расстояние между двумя параллельными круглыми основаниями цилиндра называется высотой цилиндра. Цилиндр имеет боковую поверхность и два основания, параллельные и одинаковые. Некоторыми из реальных примеров цилиндра являются контейнеры для консервов, банки для холодных напитков, газовые баллоны, рулоны туалетной бумаги и т. д.

Определение и типы цилиндров

В геометрии цилиндр представляет собой трехмерную форму с двумя круглыми основаниями, соединенными боковой поверхностью, известной как криволинейная поверхность. Расстояние между двумя параллельными круглыми основаниями цилиндра называется высотой (h) цилиндра, а линия, соединяющая центры двух круглых оснований, является осью цилиндра. Радиус (r) цилиндра — это расстояние от центра до внешней границы цилиндра. Цилиндр выглядит как круг, если смотреть сверху, и как прямоугольник, если смотреть сбоку.

Цилиндры подразделяются на различные типы, такие как прямые круглые цилиндры, наклонные цилиндры, эллиптические цилиндры и цилиндрические оболочки или полые цилиндры.

• Правый круговой цилиндр: Правильный круговой цилиндр — это цилиндр с осью цилиндра, перпендикулярной центру основания.
• Наклонные цилиндры: Наклонный цилиндр — это цилиндр, ось которого не перпендикулярна центру основания, т. е. ось образует угол, отличный от прямого, с центром основания.
• Эллиптические цилиндры: Эллиптический цилиндр представляет собой цилиндр с основаниями эллиптической формы.
• Цилиндрические оболочки или полые цилиндры: полый цилиндр состоит из двух прямоугольных цилиндров, связанных друг с другом. Она пуста изнутри и имеет разность между внутренним и внешним радиусами. Точка оси перпендикулярна центральному основанию и является общей для обоих цилиндров. Некоторыми реальными примерами полых цилиндров являются полые трубы, рулоны туалетной бумаги и т. д.

Формулы для цилиндра

Как и у любой другой трехмерной геометрической формы, даже у цилиндра есть две основные формулы: площадь поверхности и объем. Цилиндр имеет два типа площадей поверхности: криволинейную площадь поверхности или площадь боковой поверхности и общую площадь поверхности.

Итак, три основные формулы, относящиеся к цилиндру:

1. Площадь изогнутой поверхности или площадь боковой поверхности
2. Общая площадь поверхности
3. Объем

Площадь изогнутой поверхности или площадь боковой поверхности

Площадь криволинейной поверхности или площадь боковой поверхности цилиндра — это пространство, заключенное между двумя параллельными круглыми основаниями.

Формула площади криволинейной поверхности или площади боковой поверхности цилиндра имеет вид:

Площадь изогнутой поверхности (CSA) = окружность × высота

CSA = 2πr × h = 2πrh квадратных единиц

Curved Surface Area (CSA) = 2πrh square units

Where

r is the radius and

h is the height of the cylinder.

Общая площадь поверхности

Общая площадь поверхности цилиндра — это общая площадь, заключенная в цилиндре, включая его основания. Цилиндр имеет боковую поверхность и два основания, параллельные и одинаковые. Следовательно, общая площадь поверхности цилиндра представляет собой сумму площади криволинейной поверхности или боковой поверхности и площадей двух круглых оснований.

Мы знаем это,

Площадь изогнутой поверхности (CSA) = (2 π rh) квадратных единиц.

Площадь круга = πr ² квадратных единиц.

Общая площадь поверхности (TSA) цилиндра = площадь криволинейной поверхности + 2 (площадь круга)

TSA = 2πrh + 2πr ² = 2πr(h + r) квадратных единиц

Таким образом, формула для полной площади поверхности цилиндра дается как,

Total surface area of the cylinder = [2πr(h + r)] square units

Where

r is the radius and

h is the height of the cylinder.

Объем цилиндра

Объем цилиндра — это плотность или объем пространства, занимаемый цилиндром. Предположим, что емкость цилиндрической формы заполнена рафинированным маслом. Теперь для расчета количества масла нам необходимо определить объем емкости цилиндрической формы.

Теперь объем цилиндра = площадь круга × высота

Объем (V) = πr ² × h кубических единиц

Таким образом, формула объема цилиндра имеет вид

Volume of a cylinder =  (πr²h) cubic units

Where

r is the radius and 

h is the height of the cylinder.

Примеры проблем

Задача 1: Определить площадь криволинейной поверхности цилиндра радиусом 8 дюймов и высотой 15 дюймов.

Решение:

Given,

Radius = 7 inches and

The height of the cylinder = 15 inches.

We have,

The curved surface area of the cylinder = (2πrh) square units

= 2 × (22/7) × 8 × 15

= 754.285 sq. in

Hence, the curved surface area of the cylinder is 754.285 sq. in.

Задача 2: Вычислите объем сосуда для воды цилиндрической формы, высота которого 18 см, а диаметр 12 см.

Решение:

Given,

The height of the cylinder = 18 cm

Diameter = 12 cm

⇒ 2 × radius = 12 cm

⇒ r = 6 cm

We have,

The volume of a cylinder =  (π r² h) cubic units

⇒ V = (22/7) × (6)² × 18

⇒ V = 2,034.72‬ cm³

Hence, the volume of the cylindrical-shaped water container is 2034.72 cm³.

Задача 3: Определить общую площадь поверхности цилиндра радиусом 6 см и высотой 12 дюймов.

Решение:

Given,

Radius = 6 cm and

The height of the cylinder = 12 cm

We have,

The total surface area of the cylinder = [2πr(h + r)] square units

= 2 × (22/7) × (6) × (6 + 12)

= 37.714 × 18 = 678.857 sq. cm.

Therefore, the total surface area of the cylinder is 678.857 sq. cm.

Задача 4. Определить высоту цилиндра, если его объем 625 кубических единиц, а радиус 5 единиц.

Решение:

Given,

The volume of the cylinder = 625 cubic units

Radius = 5 units

The height of the cylinder =?

We know that,

The volume of a cylinder =  (π r² h) cubic units

⇒ 625 = (22/7) × (5)2 × h

⇒ (22/7) × 25 × h = 625

⇒ h = (625/25) × (7/22)

⇒ h = 7.95 units

Hence, the height of the given cylinder is 7.95 units

Задача 5. Определить площадь криволинейной поверхности цилиндра, если его общая площадь поверхности составляет 770 кв. дюймов, а радиус — 7 дюймов.

Решение:

Given,

Radius = 7 inches

The total surface area of the cylinder = 770 sq. in

We know that,

The total surface area of a cylinder = [2πr(h + r)] square units

⇒ 770 = 2 × (22/7) × (7) × (7 + h)

⇒ 2 × (22) × (7 + h) = 770

⇒ 7 + h = 17.5‬

⇒ h = 10 cm

Now,

The curved surface area of cylinder = 2πrh square units

= 2 × (22/7) × (7) × (10)

= 2 × (22) × (10) = 440 sq. in.

Thus, the curved surface area of the given cylinder is 440 sq. in.

Задача 6. Найдите радиус цилиндра, если площадь его криволинейной поверхности 550 кв. см, а высота 14 см.

Решение:

Given,

The curved surface area of the cylinder = 550 sq. cm

The height of the cylinder = 14 cm

Radius =?

We know that,

The curved surface area of the cylinder = (2πrh) square units

⇒ 550 = 2 × (22/7) × r × 14

⇒ 88r = 550 ⇒ r = 550/88

⇒  r = 6.25 cm

hence, the radius of ‬the given cylinder is 6.25 cm.