Какой член АП 21, 18, 15 равен нулю?

Прогрессия — это последовательность чисел, расположенных по определенному шаблону. Следуя шаблону, можно определить и другие числа в последовательности.

Давайте разберем это ясно на примере:
Рассмотрим последовательность 1,4,9,16,25,……..
При внимательном наблюдении мы можем ясно видеть, что каждый терм есть не что иное, как квадрат его позиции в индексе.
1=1 ² , 4=2 ² , 9=3 ² , 16=4 ² , 25=5 ²
Поэтому мы также можем предсказать дальнейшие члены данной последовательности как 36, 49, 64… и так далее.

Некоторые другие примеры прогрессии:

• 1,4,7,10,13,…………
• 5,1,-3,-7,-11,…….
• 5,15,45,135,405,…..

Общеизвестные последовательности

1. Арифметическая последовательность (или) арифметическая прогрессия
2. Геометрическая последовательность (или) геометрическая прогрессия
3. Гармоническая последовательность (или) Гармоническая прогрессия
4. Последовательность Фибоначчи

Арифметическая прогрессия (или) арифметическая последовательность

В арифметической прогрессии каждый член имеет равное приращение или уменьшение по отношению к предыдущему члену. Изменение между любыми двумя последовательными терминами одинаково на протяжении всей последовательности.

Обычно мы обозначаем первый член этой последовательности как «а», а постоянное изменение между двумя членами обозначается как «d».

«d», также называемая общей разностью , может быть любым действительным числом.

В общем случае любую арифметическую последовательность можно представить в виде:

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d,…………….

Пример: рассмотрим последовательность 10, 17, 24, 31,…..

Решение:

We can see that common difference=17-10=24-17=31-24=7
Here 
a=10 and 
d=7.

Некоторые другие примеры арифметической прогрессии:

• 2,4,6,8,10,….
• 10,5,0,-5,-10,…..

Некоторые более обобщенные результаты для арифметической прогрессии

• В общем случае n ^-й член арифметической прогрессии обозначается T _n и задается формулой

T_n= a + (n-1)d

• Сумма n членов арифметической прогрессии обозначается S _n и определяется как:

S_n= n(2a+(n-1)d)/2  or  S_n=n(a+a_n)/2

Примечание:

• В арифметической прогрессии сумма i ^-го члена от начала и i ^-го члена от конца постоянна для любого значения i, такого что 1<= i <=n.
  Пример: 2,7,12,17,22,27
  В приведенном выше примере 27+2=7+22=12+17=29
• Если мы добавим или вычтем постоянное действительное число из каждого члена арифметической прогрессии, то полученные в результате члены также будут в арифметической прогрессии с той же общей разницей.
• Если a,b,c находятся в AP, то 2b=a+c.
• Если мы выберем термины через равные интервалы в арифметической прогрессии, то выбранный термин также образует AP.

Геометрическая прогрессия (или) геометрическая последовательность

В геометрической прогрессии все члены увеличиваются или уменьшаются путем умножения или деления фиксированного числа. Отношение любых двух последовательных членов последовательности всегда постоянно. Это называется «общее отношение» для геометрической прогрессии и обозначается буквой «r» английского алфавита.

В общем случае любую геометрическую прогрессию можно представить в виде:

a, ar, ar², ar³, ar⁴,……………………

Пример: рассмотрим последовательность 1,2,4,8,16,32,……..

Решение:

If you observe , we have (2/1)=(4/2)=(8/4)=(16/8)=(32/16)=2
Here 
a=1 and 
r=2

Некоторые другие примеры арифметической прогрессии:

• 2,1,(0,5),(0,25),(0,125),….
• 4,12,36,108,324…..

Некоторые более обобщенные результаты для геометрической прогрессии.

• В общем случае n ^-й член геометрической прогрессии обозначается T _n и определяется формулой

T_n = ar^(n-1)

• Сумма n членов геометрической прогрессии обозначается S _n и определяется как:

Sn=  (ar^{n- 1})/(r-1)  where r ≠1

when r=1, 

S_n simply becomes n×a.

Некоторые интересные свойства:

1. Если мы умножим или разделим постоянное действительное число на каждый член геометрической прогрессии, оно все равно останется геометрической последовательностью с тем же самым знаменателем.
2. Сумма бесконечной геометрической последовательности, когда |r|<1 определяется выражением

 S_∞= a/(1-r)

3. Если a,b и c принадлежат GP, то b ² =ac .

Гармоническая прогрессия (или) Гармоническая последовательность

В гармонической последовательности каждый член, когда он взаимодействует, имеет равное увеличение или уменьшение по отношению к обратному отношению к его предыдущему члену. Изменение между любыми двумя взаимодействующими последовательными членами одинаково на протяжении всей последовательности.

Примечание . Взаимные члены гармонической прогрессии находятся в арифметической прогрессии.

В общем случае любую гармоническую прогрессию можно представить в виде:

1/a, 1/(a+d)  ,1/(a+2d) ,1/(a+3d) , ……..

Пример: рассмотрим последовательность 1/5, 1/8, 1/11, 1/14, 1/17,……..

Решение:

We can clearly notice that when we reciprocate the terms it forms an arithmetic progression

5, 8, 11, 14, 17………………..

В общем случае n ^-й член Гармонической прогрессии обозначается T _n и задается формулой

T_n= 1/(a+(n-1)d) 

Некоторые другие примеры гармонической прогрессии:

• 1/6, 1/12, 1/18, 1/24, 1/30
• 1/50, 1/42, 1/34, 1/26, 1/18

Если a,b и c находятся в HP, то b=(2ac)/(a+c).

Последовательность Фибоначчи

Набор чисел, в котором каждый член (после второго) является суммой двух предыдущих чисел.

Простой пример последовательности Фибоначчи: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…………………

Итак, когда мы объявляем первые два члена последовательности Фибоначчи, то обычно n-й член (F _n ) определяется как:

F_n=F_n-1+F_n-2 

Некоторые другие примеры последовательности Фибоначчи:

• 2,2,4,6,10,16,26,……..
• 1,-1,0,-1,-1,-2,-3,……

Какой член АП 21, 18, 15 равен нулю?

Решение:

Lets consider the general term of an Arithmetic progression :T_n=a+(n-1)d

where ‘a’ is the first term and ‘d’ is the common difference.

Equating T_n to 0 , we have

⇒ a+(n-1)d=0

⇒ (n-1)d=-a

⇒n=1-(a/d)

As ‘n’ is natural number n≥1

Therefore n=1-(a/d)≥1

                  ⇒ -(a/d)≥0⇒   (a/d)≤0

So in order to have a term equal to 0 in a arithmetic Progression the first term and common difference must be of opposite signs.

If  a is negative then d will be positive and if a is positive then d should be negative. 

Note: This is a necessary condition and not sufficient condition as n should only be a natural number.

Now,

Which term of an AP 21, 18, 15 is zero?

Here,

a=21 and d=-3 (‘a’ and ‘d’ are of opposite signs so we can proceed further)

T_n = a+(n-1)d

0 = 21+(n-1)(-3)

⇒ n=8

8th term of the given A.P will be zero.

Примеры проблем

Задача 1: Какой член данного AP 100, 96, 92, 88,…… равен 0?

Решение:

Here 

a=100 and d=-4 (‘a’ and ‘d’ are of opposite signs so we can proceed further)

T_n=a+(n-1)d

0 = 100+(n-1)(-4)

⇒ n=26

26th term of the given A.P will be zero.

Задача 2: Какой член данной АР -180, -135, -90…… равен 0?

Решение:

Here 

a=-180 and d=45 (‘a’ and ‘d’ are of opposite signs so we can proceed further)

T_n=a+(n-1)d

0 = -180+(n-1)(45)

⇒ n=5

5^th term of the given A.P will be zero

Задача 3: Какой член данной AP 2, 9, 16, 23…… равен 0?

Решение:

Here 

a=2 and d=7 (‘a’ and ‘d’ are of the same signs so we don’t need to proceed further)

But still if we check 

T_n=a+(n-1)d

0 = 2+(n-1)(7)

⇒ n=(5/7) which is not a natural number so there is no term in the given A.P with value as 0.

Задача 4: Какой член данного АП 50,44,38,…………?

Решение:

Here 

a=50 and d=-6 (a and d are of opposite signs so we can proceed further)

T_n=a+(n-1)d

0 = 50+(n-1)(-6)

⇒ n=(28/3) which is not a natural number or a defined index position in the A.P. So there is no term in this A.P that is 0.

Hence we can see that even when a and d are of opposite signs n cannot be guaranteed as a natural number.