Как распределить комплексные числа?

Комплексные числа используются для нахождения квадратного корня из отрицательных чисел. Он состоит из реальной и мнимой частей. Комплексное число имеет форму a + ib, где a — действительная часть, а b — мнимая часть. Действительная часть комплексного числа — это любое число, представленное как Re(z), где «z» — любое комплексное число. Мнимая часть комплексного числа состоит из любого числа, умноженного на «i». «i» обозначает йоту. Комплексные числа не могут быть представлены на числовой прямой. Они представлены на плане под названием План Арганда . Например: пусть z = 3 + 5i. Здесь Re(z) = 3 и Im(z) = 5.

О Йоте

Алфавит «i» известен как йота. Значение «i» равно √-1. Он в основном используется для обозначения мнимых чисел. Значения йоты

1. я ² = -1
2. я ³ = -я
3. я ⁴ = 1

Операции над комплексными числами

Мы можем выполнять сложение, вычитание, умножение, деление и т. д., а также находить сопряженные и абсолютные значения комплексных чисел.

• Добавление:

Let a + ib and c + id be two complex numbers. The result of the addition operation is that real parts are added separately and imaginary numbers are added separately. The result is (a + c) + i(b + d). 

• Вычитание:

Let a + ib and c + id be two complex numbers. The result of the subtraction operation is that real parts are subtracted separately and imaginary numbers are subtracted separately. The result is (a – c) + i(b – d). 

• Умножение:

Let a + ib and c + id be two complex numbers. The result of the multiplication operation is that real parts are multiplied together, imaginary parts are multiplied together and real and imaginary parts are also multiplied. The result is (a + ib)×(c+id) = ac + iad +ibc – ad.

• Сопрягать:

Conjugate is nothing but changing the sign of operation in the complex number. If a + ib is a complex number than the conjugate is a – ib.

• Разделение:

Let a + ib and c + id be two complex numbers. We rationalize the denominator by multiplying it with its conjugate. The result is

(a + ib)/(c + id) = (a + ib)×(c – id)/(c² – d²).

• Абсолютная величина:

The absolute value is also known as the modulus. It is the absolute value of the complex number. The absolute value of c+id is given by √c² + d²

Свойства комплексных чисел

Пусть a + ib, c + id , x+iy — три комплексных числа.

Коммутативный закон: в коммутативном законе числа можно поменять местами без какого-либо изменения чисел. Коммутативный закон в комплексных числах действителен для умножения и сложения. это

(a + ib) + (c + id) = (c + id) + (a + ib)

Ассоциативность : Ассоциативность трех комплексных чисел выполняется при сложении и умножении. это

{(a + ib) + (c + id)}+ (x + iy) = (a + ib) + {(c + id) + (x + iy)}

Дистрибутивность: пусть (a + ib), (c + id), (x + iy) — три комплексных числа. Распределительное имущество

(a + ib) × {(c+id) + (x + iy)} = {(a + ib)×(c + id)} + {(a + ib)×(x + iy)}

Как распределять комплексные числа?

Распределение означает разделение. Комплексные числа удовлетворяют дистрибутивному свойству. Свойство гласит, что если мы умножим комплексное число на сумму двух комплексных чисел, это будет то же самое, что умножение комплексного числа на каждое комплексное число в отдельности и последующее сложение результата. Пусть (a + ib), (c + id), (x + iy) — три комплексных числа. Следовательно, распределительное свойство равно (a + ib) × {(c + id) + (x + iy)} = {(a + ib) × (c + id)} + {(a + ib) × (x + iy). )}. Проиллюстрируем это на примере

Пусть есть три комплексных числа: 2i, 3 + 7i, 7 + 3i

= (2i) x {(3 + 7i) + (7 + 3i)}

= 2i × (10 + 10i)

= 20i -20 —–(1)

Теперь давайте распределим 2i по отдельности с заданными операндами.

= (2i) x {(3 + 7i) + (7 + 3i)}

= 2i×(3 + 7i) + (2i)×(7 + 3i)

= 6i -14 + 14i – 6

= 20i -20 (i ² = -1) ——(2)

из уравнения (1) и (2)

Таким образом, распределительная собственность удовлетворена.

Примеры проблем

Задача 1: вычислить (2i + 6i )×(4i + 8i -2i)

Решение:

2i×(4i + 8i -2i) + 6i×(4i + 8i -2i)

= 2i×(10i) + 6i×(10i)

= -20 – 60

= -80

Задача 2: найти значение 2i×(9 + i/9 + 8i)

Решение:

2i×( 9 + i/9 + 8i)

 = 2i×9 + 2i ×( i/9 + 8i) 

= 18i + 2i ×( 73i/9)

= -146/9 + 18i

Задача 3: найти (4 + 5i) x (9 + 3i)

Решение:

(4 + 5i)×(9 + 3i)

= 4×(9 + 3i) + 5i×(9 + 3i)

=36 + 12i + 45i -15

= 21 +57i

Задача 4: решить (4 + 5i)×(4 – 5i)

Решение:

(4 + 5i)×(4 – 5i)

= 4×(4 – 5i) + 5i×(4 – 5i)

=16 -20i + 20i +25

=41

Задача 5: решить (4 + 5i)×(9 – 5i)

Решение:

(4 + 5i)×(9 – 5i)

= 4×(9 – 5i) + 5i×(9 – 5i)

= 36 – 20i + 45i +25

= 41 + 25i