Как найти площадь поверхности призмы?

Призма — это трехмерная фигура, состоящая из двух одинаковых многоугольников, обращенных друг к другу. Одинаковые многоугольники называются основаниями призмы, где они могут быть треугольниками, квадратами, прямоугольниками, пятиугольниками или любым другим n-сторонним многоугольником. Остальные грани призмы представляют собой параллелограммы или прямоугольники. Призма может быть правильной призмой или призмой неправильной формы в зависимости от формы ее основания, т. е. от того, является ли основание правильным многоугольником или неправильным многоугольником. Кроме того, существуют различные типы призм в зависимости от формы основания призмы, например:

• Triangular prisms,
• Square prisms, 
• Rectangular prisms, 
• Pentagonal prisms, 
• Hexagonal prisms, etc.

Площадь поверхности призмы

Полная площадь поверхности призмы равна площади, занимаемой всеми ее гранями. Чтобы узнать площадь поверхности призмы, нам нужно вычислить площади всех ее граней, а затем сложить все полученные площади. Площадь боковой поверхности призмы – это площадь, занимаемая гранями призмы, за исключением одинаковых граней (оснований призмы), обращенных друг к другу.

Lateral surface area of a prism = Base perimeter × height

Теперь общая площадь поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и площадей двух ее оснований.

Общая формула для расчета площади поверхности призмы любого типа:

Total surface area of a Prism = 2(Base Area)+ (Base perimeter × height)

Треугольная призма

Треугольная призма – это призма, основания которой треугольны. Пусть «H» будет высотой призмы; «a, b и c» — длины сторон треугольных оснований, а «h» — их высота.

Теперь площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания × высота.

Мы знаем, что периметр треугольника = сумма трех его сторон = a + b + c.

Lateral surface area of the triangular prism = (a + b + c) H 

Общая площадь поверхности треугольной призмы = 2 (площадь основания) + (периметр основания × высота)

Мы знаем, что площадь треугольника = 1/2 основания × высота = 1/2 b × h.

Total surface area of a triangular prism = 1/2bh + (a + b + c) H

Квадратная призма

Квадратная призма — это призма, основания которой — квадраты. Пусть «а» — длина стороны квадрата, а «h» — высота призмы.

Теперь площадь боковой поверхности квадратной призмы = периметр основания × высота.

Мы знаем, что периметр квадрата = сумма его четырех сторон = 4а.

Lateral surface area of the square prism = 4ah

Общая площадь поверхности квадратной призмы = 2 (площадь основания) + (периметр основания × высота)

Мы знаем, что площадь квадрата = ^а2 квадратных единиц.

Total surface area of a square prism = 2a² + 4ah

Прямоугольная призма

Прямоугольная призма — это призма, основания которой — прямоугольники. Пусть «h» — высота призмы, а «l и b» — длина и ширина прямоугольных оснований.

Теперь площадь боковой поверхности прямоугольной призмы = периметр основания × высота.

Мы знаем, что периметр прямоугольника = сумма его четырех сторон = 2 (l + b)

Lateral surface area of the rectangular prism = 2(l + b)h

Общая площадь поверхности прямоугольной призмы = 2 (площадь основания) + (периметр основания × высота)

Мы знаем, что площадь прямоугольника = (l × b) квадратных единиц.

Total surface area of a rectangular prism = 2lb + 2bh + 2lh

Пятиугольная призма

Пятиугольная призма — это призма, основания которой — пятиугольники. Пусть «h» — высота призмы, «a» — длина апофемы призмы, «b» — длина основания призмы.

 Lateral surface area of the pentagonal prism = 5bh

Total surface area of a pentagonal prism = 5ab + 5bh

Шестиугольная призма

Шестиугольная призма — это призма, основания которой — шестиугольники. Пусть «а» — длина стороны шестиугольника, а «h» — высота призмы.

Lateral surface area of the hexagonal prism = 6ah

Total surface area of a hexagonal prism = 3√3a² + 6ah

Примеры проблем

Задача 1: Найдите высоту квадратной призмы, если площадь ее полной поверхности равна 58 см ² , а длина стороны квадратного основания равна 2 см.

Решение:

Given data,

The total surface area of the square prism = 58 cm²

The length of the side of the square base = 2 cm

We know that,

The total surface area of a square prism = 2a² + 4ah

⇒ 58 = 2 × (2)² + 4 × 2 × h

⇒ 58 = 8 + 8h

⇒ 50 = 8h

⇒ h = 50/8 = 6.25‬ cm,

Hence, the height of the given prism is 6.25‬ cm.

Задача 2: Какова площадь поверхности призмы, площадь основания которой 15 квадратных единиц, периметр основания 24 единицы, а высота 8 единиц?

Решение:

Given data,

Base area = 15 square units

Base perimeter = 24 units

Height of the prism = 8 units

We have,

The total surface area of the prism = (2 × Base Area) + (Base perimeter × height)

= (2 × 15) + (24 × 8)

= 30 +  192 = 222 square units.

Hence, the surface area of the given prism = 222 square units.

Задача 3: Какова площадь боковой поверхности треугольной призмы, периметр основания которой равен 30 см, а высота призмы 12 см?

Решение:

Given data,

The base perimeter of the prism = 30 cm²

The height of the prism = 12 cm

We know that,

The lateral surface area of the prism = Base perimeter × height

= 30 × 12= 360 sq. cm

Hence, the lateral surface area of the prism is 360 sq. cm.

Задача 4: Найдите площадь поверхности правильной шестиугольной призмы, если высота призмы равна 10 дм, а длина стороны основания равна 7 дм.

Решение:

Given data,

The height of the prism (h) = 10 in

The length of the side of the base (a) = 7 in

The surface area of a regular hexagonal prism = 6ah + 3√3a²

= 6 × 7 × 10 + 3√3(7)²

= (420 + 147√3) sq. in

Hence, the surface area of the given prism is (420 + 147√3) sq. in.

Задача 5: Определить площадь боковой поверхности и полную поверхность прямоугольной призмы, если длина и ширина основания равны 11 см и 8 см соответственно, а высота призмы 14 см.

Решение:

Given data,

The length of the rectangular base (l) = 11 cm

The breadth of the rectangular base (b) = 8 cm

The height of the prism (h) = 14 cm

We have,

The lateral surface area of the prism = Base perimeter × height

= 2 (l + b) h = 2 × (11 + 8) × 14 = 532‬ sq. cm

We know that,

The total surface area of the rectangular prism = 2 (lb + bh + lh)

= 2 × (11 × 8 + 8 × 14 + 11 × 14)

= 2 × (88 + 112 + 154) = 708 sq. cm

Hence, the lateral and total surface areas of the given rectangular prism are 532 sq. cm and 708 sq. cm, respectively.

Задача 6. Если общая площадь пятиугольной призмы равна 125 квадратных единиц, а ее высота и длина апофемы равны соответственно 10 единицам и 6 единицам, определите длину ее основания.

Решение:

Given data,

The total surface area of the pentagonal prism = 125 square units

The height of the prism (h) = 10 units

Apothem length (a) = 6 units

We know that,

The total surface area of the pentagonal prism = 5ab + 5bh

⇒ 125 = 5b (a+ h)

⇒ 125/5 = b (6 + 10)

⇒ 25 = b × (16) ⇒ b = 25/16 = 1.5625 units

Hence, the base length is 1.5625 units