Как найти общую разность арифметической прогрессии?

Последовательность также известна как прогрессия и определяется как последовательное расположение чисел по порядку с соблюдением определенных правил. В зависимости от набора правил, которым следует последовательность, она подразделяется на различные виды, такие как арифметическая последовательность, геометрическая последовательность, гармоническая последовательность и последовательность Фибоначчи. Арифметическая последовательность или прогрессия — это последовательность чисел, когда разница между любыми двумя последовательными числами одинакова. Например, 5, 10, 15, 20, 25, 30,… — это арифметическая последовательность, в которой общая разница между любыми двумя последовательными членами равна 5.

Общая форма арифметической прогрессии такова:

AP = a, a + d, a + 2d, a + 3d,……., a + (n-1) d

Where,

“a” is the first term of the progression, and

“d” is a common difference.

Общая разница

Термин «общая разность» — это понятие, которое используется в последовательностях и арифметических прогрессиях. Обычная разность — это разница между любым термином и предшествующим ему термином в арифметической последовательности, и обычно она обозначается буквой «d». Итак, чтобы определить общую разность арифметической прогрессии, вычтите первый член из второго члена, второй член из третьего члена и т. д. Общая разность арифметической прогрессии играет жизненно важную роль в определении последовательных членов последовательности. .

Например, 3, 7, 11, 15, 19, 23,… — это арифметическая последовательность. Общая разность между любыми двумя последовательными членами данной последовательности равна 4, т. е.

1. Второй член – Первый член = 7 – 3 = 4
2. Третий член – Второй член = 11 – 7 = 4
3. Четвертый член – Третий член = 15 – 11 = 4
4. Пятый член – Четвертый член = 19 – 15 = 4 и так далее.

Есть два типа арифметической прогрессии, основанные на общем различии, т.е.

Арифметическая прогрессия увеличивается, если общая разность положительна, и арифметическая прогрессия уменьшается, если общая разность отрицательна.

Например, 2, 4, 6, 8, 10, 12,… — это возрастающая арифметическая прогрессия, поскольку общая разность положительна, т. е. «2». 10, 4, -2, -8, -14,… является убывающей арифметической прогрессией, так как общая разность отрицательна, то есть «-6».

Note: Common difference of an arithmetic sequence remains the same if a constant quantity is added or subtracted to or from each term of the arithmetic sequence. 

Например, 4, 9, 14, 19, 24, 29,… — это арифметическая прогрессия с общей разностью «5». Если к каждому члену данной прогрессии прибавить «7», то получится 11, 16, 21, 26, 31, 26,… и общая разность между последовательными членами новой последовательности также будет «5». Если из каждого члена данной прогрессии вычесть «2», то получится 2, 7, 12, 17, 22, 27,… и общая разность между последовательными членами новой последовательности также будет «5».

Формула общих отличий АП

Итак, формула нахождения общего различия такова:

Формула общей разности, если последовательность задана,

Пусть последовательность будет, a ₁ , a ₂ , a ₃ , ……, a _n-1 , an

Теперь общая разница в последовательности

d = а ₂ – а ₁ = а ₃ – а ₂ = …… = а _н – а _н-1

Следовательно,

d = a_n-a_n-1

where,

 a_n is the nth term and

 a_n-1 is its preceding term. 

Формула общей разности, когда заданы n-й член и первый член последовательности,

Пусть «а» — первый член, а «d» — общая разность арифметической прогрессии. Теперь n-й член последовательности равен

_n = a + (n-1) d

Вычитая первый член из n-го члена, мы получаем

⇒ а _n – а ₁ = а + (n–1) d – а

⇒ а _n – а ₁ = (n–1)d

⇒ d = ( _ан – а ₁ )/(п – 1)

Следовательно,

d = (a_n -a₁)/(n-1)

 where,

 a_n is the nth term and 

a₁ is the first term.

Формула общей разности, когда дана сумма n членов и первый член последовательности,

Пусть «а» — первый член, а «d» — общая разность арифметической прогрессии.

Сумма n членов арифметической прогрессии равна,

Sn = ( _n /2)[2a + (n-1)d]

⇒ Sn × (2/ _n ) = 2a + (n-1)d

⇒ (Sn × 2/ _n ) – 2a = (n-1)d

⇒ d = [(Sn × 2/ _n ) – 2a]/(n-1)

Следовательно,

 d = [(S_n×2/n) – 2a₁)]/(n-1)

where,

S_n is the sum of n terms and

a₁ is the first term.

Примеры проблем

Задача 1: Определить общую разность в заданной последовательности: 20, 16, 12, 8, 4, 0, -4,…

Решение:

Given sequence: 20, 16, 12, 8, 4, 0, -4,…

We know that a common difference is difference between any term and its preceding term in an arithmetic sequence, i.e.,

d = a_n – a_n-1, where a_n is the nth term and a_n-1 is its preceding term.

Here, a₁ = 20, a₂ = 16, a₃ = 12, a₄ = 8, a₅ = 4, a₆ = 0, a₇ = -4,…

d = a₄ – a₃ = 8 – 12 = -4

d = a₃ – a₂ = 12 – 16 = -4

Hence, the common difference in the given sequence is -4.

Задача 2: Определить общую разность последовательности из 10 членов, сумма которых равна 120, а первый член равен 6.

Решение:

Given, 

Number of terms of a sequence (n) = 10

sum of the 10 terms (S₁₀)= 120

First-term (a) = 6

We know that the sum of n terms of an arithmetic sequence is,

S_n = (n/2)[2a + (n-1)d]

⇒ 120 = (10/2)[6 + (10 -1)d]

⇒ 120 = 5[6 + 9d]

⇒ (6 + 9d) = 120/5 = 24

⇒ 9d = 24 – 6 = 18

⇒ d = 18/9 = 2

Hence, the common difference in the given sequence is 2.

Задача 3. Три слагаемых входят в АР. Определите общую разность, если первое и третье слагаемые равны 17 и 23 соответственно.

Решение:

Given,

Let the three terms of the arithmetic sequence be a, a + d, a+ 2d.

The first term (a) = 17, and

The third term (a + 2d) = 23

Now, third term – first term = 23 – 17

⇒ a + 2d – a = 6

⇒ 2d = 6

⇒ d = 6/2 = 3

Hence, the common difference in the given sequence is 3.

Задача 4: Как найти общую разность в арифметической прогрессии?

Решение:

A common difference is a difference between any term and its preceding term in an arithmetic sequence. So, to determine the common difference of an arithmetic sequence, subtract the first term from the second term, the second term from the third term, etc. 

So, the formula for finding the common difference is,

d = a_n-a_n-1, 

where 

a_n is the nth term and 

a_n-1 is its preceding term. 

An A.P increases if the common difference is positive, and an A.P decreases if the common difference is positive.

Задача 5. Найдите общую разность, если первый и восьмой члены арифметической прогрессии равны 12 и 68 соответственно.

Решение:

Given,

The first term (a) = 12

The eighth term  = 68

 We know that,

The nth term of an A.P. = a + (n-1)d

eighth term = a + (8-1)d = a + 7d

Now, eighth term – first term = 68 – 12

a + 7d – a = 56 

⇒ 7d = 56

⇒ d = 56/7 = 8

Hence, the common difference in the given sequence is 8.