Как найти дополнение угла?
В геометрии дополнительные углы можно определить как те углы, сумма которых равна 90 градусам. Например, 39° и 51° являются дополнительными углами, так как сумма 39° и 51° равна 90°. Если сумма двух углов является прямым углом, то мы можем сказать, что они дополнительные углы. Но что такое угол? В геометрии углом называют пространство, образованное между двумя лучами, когда они соединяются вместе общей точкой, называемой вершиной. Если θ — угол, то (90° — θ) — дополнительный угол к θ.
Чтобы два угла были дополнительными, их сумма должна быть 90 градусов, т. е. оба угла должны быть острыми. Если θ — угол, то (90° — θ) — дополнительный угол к θ.
Типы дополнительных углов
Два угла называются дополнительными, если их сумма равна 90°. В геометрии есть два типа дополнительных углов, т. е. смежные дополнительные углы и несмежные дополнительные углы.
Смежные дополнительные углы: Два дополнительных угла, имеющих общую вершину и общее плечо, называются смежными дополнительными углами.
Из приведенного рисунка можно сказать, что ∠QEF и ∠DEQ являются смежными углами, так как оба угла имеют общую вершину «E» и общее плечо «EQ». Поскольку ∠QEF + ∠DEQ = 17° + 73° = 90°, ∠QEF и ∠DEQ также являются дополнительными углами. Следовательно, два заданных угла являются смежными дополнительными углами.
Несмежные дополнительные углы: два угла называются несмежными, если они не имеют общей вершины и общего плеча. Несмежными дополнительными углами называются дополнительные углы, не смежные между собой.
Из приведенного рисунка можно сказать, что ∠XYZ и ∠ABC — несмежные углы, так как оба угла не имеют общей вершины и общего плеча. ∠XYZ и ∠ABC также являются дополнительными углами, поскольку их сумма равна 90°, т. е. ∠XYZ + ∠ABC = 57° + 33° = 90°. Следовательно, данные два угла являются несмежными дополнительными углами.
Теорема о дополнительных углах
Теорема о дополнительных углах гласит: « Если два угла дополняют любой третий угол, то первые два угла конгруэнтны друг другу».
Доказательство:
Let us assume that ∠COB is complementary to ∠BOA and ∠DOC.
From the definition of the complementary angles we get,
∠COB + ∠BOA = 90° ————— (1)
∠COB + ∠DOC = 90° ————— (2)
From equations (1) and (2) we can say that,
∠COB + ∠BOA = ∠COB + ∠DOC
⇒ ∠COB + ∠BOA – ∠COB – ∠DOC = 0
⇒ ∠BOA – ∠DOC = 0
⇒ ∠BOA = ∠DOC
Hence, the theorem is proved.
Свойства дополнительных углов
Обсудим некоторые свойства дополнительных углов.
- Пара углов называется дополнительной, если их сумма равна 90°.
- Два дополнительных угла могут быть либо смежными, либо несмежными.
- Угол называется дополнением другого угла, если сумма обоих углов равна 90°.
- Даже если сумма трех и более углов равна 90°, они не могут быть дополнительными.
- Два дополнительных угла острые.
Нахождение дополнения угла
Чтобы найти дополнение угла, нам нужно вычесть заданный угол из 90°, так как мы знаем, что сумма двух дополнительных углов равна 90°. Если θ — заданный угол, то (90° — θ) — дополнение к θ.
Например, вычислите дополнение 17°.
Мы знаем, что сумма двух дополнительных углов равна 90°.
В результате дополнение 17° равно (90° – 17°) = 73°.
Следовательно, дополнение 17° равно 73°.
Разница между дополнительными и дополнительными углами
Дополнительные углы | Дополнительные углы |
|---|---|
Если сумма пары углов равна 90°, то они называются дополнительными. | Если сумма пары углов равна 180°, то они называются дополнительными. |
(90° – θ) является дополнением угла θ. | (180° – θ) является дополнением угла θ. |
Если пару комплементарных соединить вместе, то они образуют прямой угол. | Если пару дополнительных соединить вместе, то они образуют прямую линию. |
Чтобы два угла были дополнительными, их сумма должна быть 90 градусов, т. е. оба угла должны быть острыми. | В двух дополнительных углах один угол острый, а другой тупой, или оба они могут быть прямыми. |
Решенные проблемы
Задача 1: вычислить значения двух дополнительных углов, A и B, если A = (2x – 18)° и B = (5x – 52)°.
Решение:
Given data,
∠A = (2x – 18)° and ∠B = (5x – 52)°
We know that,
Sum of two complementary angles = 90°
∠A + ∠B = 90°
⇒ (2x – 18)° + (5x – 52)° = 90°
⇒ 7x – 70° = 90°
⇒ 7x = 90° + 70° = 160°
⇒ x = 160°/7 = 22.85°
Now,
∠A = (2 × (22.857) – 18) = 27.714°
∠B = (5 × (22.857) – 52) = 62.286°
Hence, ∠A = 27.714° and ∠B = 62.286°.
Задача 2. Определить значение x, если (5x/3) и (x/6) — дополнительные углы.
Решение:
Given data,
(5x/3) and (x/6) are complementary angles.
We know that,
Sum of two complementary angles = 90°
⇒ (5x/3) + (x/6) = 90°
⇒ (10x + x)/6 = 90°
⇒ 11x = 90° × 6 = 540°
⇒ x = 540°/11 = 49.09°
Hence, the value of x = 49.09°.
Задача 3: Найдите значение x на рисунке ниже.
Решение:
From the given figure we can observe that x and 54° are complementary angles, i.e., the sum of x and 54° is 90°.
⇒ x + 54° = 90°
⇒ x = 90° – 54° = 36°
Hence, the value of x is 36°.
Задача 4: Найти значение y и величину углов на данной фигуре.
Решение:
From the given figure, we can observe that (2y – 15)° and (3y – 25)° are complementary angles, i.e., the sum of (2y – 15)° and (3y – 25)° is 90°.
⇒ (2y – 15)° + (3y – 25)° = 90°
⇒ (5y – 40)° = 90°
⇒ 5y = 90° + 40° = 130°
⇒ y = 130°/5 = 26°
Now, (2y – 15)° = ( 2 × 26 – 15) = 37°
(3y – 25)° = (3 × 26 – 15) = 53°
Hence, the value of y is 26° and the complementary angles are 37° and 53°.
Задача 5: Определите значение x и меру дополнительных углов на рисунке, показанном ниже.
Решение:
Given that, (x – 3)° and (2x – 7)° are complementary angles, i.e., the sum of (x – 3)° and (2x – 7)° is 90°.
⇒ (x – 3)° + (2x – 7)° = 90°
⇒ (3x – 10)° = 90°
⇒ 3x = 90° + 10° = 100°
⇒ x = 100°/3 = 33.34°
Now, (x – 3)° = (33.333- 3)° = 30.333° = 30.33°
(2x – 7)° = (2 × (33.333) – 7)° = 59.666° = 59.67°
Hence, the value of x is 33.333° and the three complementary angles are 30.33° and 59.67°.