Как можно использовать алгебру для изучения вероятности?

Вероятность любого события определяется как отношение вероятности наступления событий к сумме возможных исходов. Если существует «n» исчерпывающих, взаимоисключающих и равновероятных результатов случайного эксперимента. Из которых m благоприятны для наступления события E

Формула вероятности

Самая основная и общая формула для расчета вероятности:

P(n) = (favorable events)/(total events

= m/n

Определение вероятности события

• Вероятность события A или B = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
• Вероятность события не A = P(A') = 1 – P(A)
• Вероятность события A, но не события B = P(A ∩ B') = P(A) – P(A ∩ B)
• Вероятность события не А не В = P(A' ∩ B') = 1 - P(A ∪ B) = 1 - Вероятность события A или B.

Объяснение вероятности

Представьте, что вы и ваши друзья весело играете. В этой игре вам нужно бросать кости, и выпадение шести – это удача. Вероятность выигрыша увеличивается с количеством выпавших шестерок. Как рассчитать свои шансы на победу? У всех одинаковые шансы на победу? Здесь шестёрка считается победой.

Все ли события происходят одинаково для всех? Теперь мы знакомы с определением вероятности. Мы можем предоставить решения вероятностных формул. В этой части мы узнаем о событиях, различных типах событий и кратком определении алгебры и вероятности.

Пример: Предположим, подброшены две монеты, и вы должны найти вероятность следующих событий.

• По крайней мере, один хвост появляется
• Головы не поднимаются
• В лучшем случае выпадет одна решка

Итак, чтобы найти вероятность события A в конечном пространстве S.

P(A)= (number of sample points in A)/(total number of sample points in S)

= n(a)/ n(s)

Here,

S = total smaple space = { HH, HT, TH, TT }

=> n(s) = 4

По крайней мере, один хвост появляется

Здесь пусть А будет событием, когда выпадет хотя бы одна голова,

Итак, A = {HT, TH, TT};

п(А) = 3;

Р(А) = п(А)/n(S)

= 3/4

Головы не поднимаются

Здесь А — событие, при котором не выпадает ни одной головы,

поэтому А = {ТТ};

п(А) = 1;

Р(А) = п(А)/n(S)

= 1/4

В лучшем случае выпадет одна решка

Здесь А — событие, когда выпадает не более одной решки,

поэтому A = {HH, TH, HT};

п(А) = 3;

Р(А) = п(А)/n(S)

= 3/4

Термины, связанные с вероятностью

• Случайный эксперимент : Случайный эксперимент — это такой эксперимент, в котором все возможные результаты известны заранее, но ни один из них нельзя предсказать с уверенностью.
• Исход : Результат случайного эксперимента называется исходом.
• Пространство выборки : набор всех возможных результатов случайного эксперимента называется пространством выборки и обозначается буквой «S».
• Событие: Подмножество выборочного пространства называется Событием.

События и их алгебра

Любое подмножество выборочного пространства является событием. Другими словами, комбинация исходов случайного эксперимента является событием. Обозначается заглавными буквами. В случайном эксперименте с бросанием игральной кости событием может быть получение любого из чисел от 1 до 6 на самой верхней грани. Мы можем рассчитать вероятность любого из возможных событий. Например, вероятность того, что при одном броске кости выпадет 5 очков, равна 1/6.

Типы событий

Существуют различные типы событий, которые используются в вероятности, которые объясняются ниже.

• Простое событие

Любое событие является простым, если оно соответствует единственному возможному исходу эксперимента. Другими словами, если событие имеет только одну точку выборки пространства выборки, это простое событие. В случайном эксперименте с бросанием игральной кости выборочное пространство

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Событие E, заключающееся в том, что 5 окажется на самой верхней грани, является простым событием.

• Составное событие

Любое событие является составным, если оно соответствует более чем одному возможному результату эксперимента. Другими словами, если какое-либо событие имеет более одной точки выборки пространства выборки, оно является составным событием. В случайном эксперименте с бросанием игральной кости выборочное пространство

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Событие E получения числа, кратного 2, является составным событием, поскольку E = {2, 4, 6}.

Основываясь на теории множеств, мы можем выполнить некоторые алгебраические действия над событиями. Некоторые из них являются союзом или пересечением событий. Изучим их подробно.

• Бесплатное мероприятие

Для любого события E дополнительное событие E' показывает не E. Можно предположить, что каждый исход, не принадлежащий E', находится в E'. Проще говоря, если E означает, что стакан наполовину пуст, событие E' показывает, что стакан наполовину наполнен.

Возьмем пример бросания игральной кости. Демонстрационное пространство, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. E показывает событие получения четного числа, т.е. E = {2, 4, 6}. Событие E' показывает результат нечетного числа или получения нечетного числа. Е' = {1, 3, 5}.

• Событие А или Б

Событие A или B показывает точки выборки случайного эксперимента, которые находятся либо в A, либо в B, либо в обоих.

Событие A или B = A ∪ B

Предположим, что событие A = {1, 3, 4, 7} и B = {2, 3, 5, 6}.

А ∪ В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

• Событие А и Б

Пусть А и В — два события. События A и B показывают точки выборки случайного эксперимента, которые являются общими для A и B. Это похоже на пересечение двух множеств A и B. События A и B = A ∩ B.

Возьмем пример случайного эксперимента с бросанием игральной кости. А – событие получения четного числа. B — это событие, когда число кратно 3. A ∩ B показывает точку выборки, общую для A и B.

Здесь A = {2, 4, 6}, B = {3, 6} и A ∩ B = {6}.

• Событие А, но не Б

Событие A, но не B показывает точки выборки, которые находятся в A, но не в B.

Событие A, но не B = A ∩ B' = A – A ∩ B.

Это событие показывает уникальные точки выборки A, отличные от точек B.

Предположим, что событие A = {1, 3, 4, 5, 6, 7} и B' = {2, 3, 5, 6}.

тогда А ∩ В' = {1, 4, 7}.

• Исчерпывающие события

Общее количество возможных исходов случайного эксперимента является исчерпывающим событием. Событие выпадения нечетного числа и событие выпадения четного числа при бросании игральной кости вместе образуют исчерпывающее событие.

• Благоприятные события

Числа исходов, которые показывают, что событие произошло в случайном эксперименте, являются благоприятными событиями. Они показывают количество случаев, благоприятных для события. В случайном эксперименте с подбрасыванием двух монет число благоприятного события для получения двух решек вместе равно 1.

• Взаимоисключающие события

События являются взаимоисключающими, если возникновение любого из них исключает возможность возникновения другого в том же следе. Также можно сказать, что никакие два или более события не могут произойти одновременно. События орла и решки при подбрасывании монеты исключают друг друга. Только одно из них может произойти.

• Равновероятные события

Событие, в котором все исходы имеют равные шансы произойти. При бросании игральной кости все шесть граней выпадают с одинаковой вероятностью.

• Независимые события

Два события независимы, если нет влияния на наступление и ненаступление одного со стороны других. При бросании игральной кости результат выпадения 2 при первом броске не влияет на результат второго и других бросков.

• Невозможные события

События, которые невозможны, относятся к категории невозможных событий. Пустое множество Φ является невозможным множеством. Рассмотрим пример колоды из 52 игральных карт, событие получения карты числа 12 невозможно.

Примеры проблем

Задача 1: найти вероятность того, что 15-е число случайно выбранного месяца приходится на понедельник.

Решение:

So let us solve this step by step,

The probability of choosing any month from the given 12 months is 1/12

There are 7 possible days the 15th of a month can fall on. So the probability it falls on a Monday is 1/7.

Thus the probability of a randomly chosen month having its 15th day on a Monday is

1/12 × 1/7 = 1/84

Задача 2: Предположим, что в мешке 4 красных, 6 синих и 2 зеленых шара. Из мешка наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что два вынутых шара будут красными.

Решение:

Total number of balls in the bag = 4 + 6 + 2 = 12.

 Two balls are drawn at random.

 The total number of ways in which any two balls are drawn = ¹²C₂= 66.

 The number of favorable cases of getting two red balls = ⁴C₂ = 6.

 Therefore, the required probability = 6⁄66  = 1/11.

Задача 3: A, B и C — три взаимоисключающих и исчерпывающих события случайного эксперимента. Если P(A) = 4/5 P(C) и P(B) = 3/5 P(C). Найдите Р(С).

Решение:

Since A, B and C are mutually exclusive and exhaustive events,

                P(A) + P(B) + P(C) = 1.
               ⇒ 4⁄5 P(C) + 3⁄5 P(C) + P(C) = 12⁄5 P(C) = 1 or,

                      P(C) = 5⁄12.

Задача 4: Какова вероятность того, что в колоде карт выпадет черная карта или десятка?

Решение:

There are 4 tens in a deck of cards P(10) = 4/52

There are 26 black cards P(black) = 26/52

There are 2 black tens P(black and 10) = 2/52

P(black or ten) = 4/52+26/52−2/52

                        =30/52−2/52

                         =28/52

                          =7/13

Проблема 5. Три события A, B и C являются взаимоисключающими, исчерпывающими и равновероятными. Какова вероятность дополнительного события А?

Решение:

Since A, B and C are mutually exclusive, we have

P(AUBUC)  =  P(A) + P(B) + P(C) —— (1)

Since they are exhaustive,

P(AUBUC)  =  1 —— (2)

Since they are equally likely events,

P(A)  =  P(B)  =  P(C)  =  K, Say —— (3)

Combining equations (1), (2) and (3), we have

1  =  K + K + K

1  =  3K

1/3  =   K

Thus P(A)  =  P(B)  =  P(C)  =  1/3

Therefore, P(A’)  =  1 – P(A)

P(A’)  =  1 – 1/3

P(A’)  =  2/3.

Задача 6: Шансы в пользу события 4:3. и Шансы на другое независимое событие составляют 2:3. Какова вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий?

Решение:

Assume that the given events are A and B

Then by the problem, probability of occurrence of A = P(A) = 4/(4+3)=4/7

And probability of occurrence of  B = P(B) = 3/(2+3)=3/5

Therefore, the probability of occurrence of at least one of the events A and B

= P(A⋃B) = P(A) + P(B) – P(A⋂B)

= P(A) + P(B) – P(A).P(B)=  4/7+3/5−(4/7.3/5)

                                      =(20+21−12)/35

                                       =29/35

Задача 7. Учитывая, что события A и B таковы, что P(A) = 1/2, P (A ∪ B) = 3/5 и P(B) = p. Найдите p, если они

(i) взаимоисключающие

(ii) независимый

Решение:

Given, P(A) = 1/2 ,

P (A ∪ B) = 3/5

and P(B) = p.

(i) For Mutually Exclusive:

Given that, sets A and B are mutually exclusive.

Thus, they do not have any common elements

Therefore, P(A ∩ B) = 0

We know that P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Substitute the formulas in the above-given formula, we get

3/5 = (1/2) + p – 0

Simplify the expression, we get

(3/5) – (1/2) = p

(6 − 5)/10 = p

1/10 = p

Therefore, p = 1/10

Hence, the value of p is 1/10, if they are mutually exclusive.

(ii) For Independent events:

If the two events A & B are independent,

we can write it as P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Substitute the values,= (1/2) × p

                                     = p/2

Now, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Now, substitute the values in the formula,

(3/5) = (1/2)+ p – (p/2)

(3/2)– (1/2)= p – (p/2)

(6 − 5)/10 = p/2

1/10 = p/2

p= 2/10

P = 1/5

Thus, the value of p is 1/5, if they are independent.

Задача 8. Вероятность независимого решения конкретной задачи лицами А и В составляет 1/2 и 1/3 соответственно. В случае, если оба человека попытаются решить задачу самостоятельно, то вычислить вероятность того, что проблема будет решена.

Решение:

Given that, the two events say A and B are independent if P(A ∩ B) = P(A). P(B)

From the given data, we can observe that P(A) = 1/2 & P(B) = 1/3

The probability that the problem is solved =( probability that person A solves the problem )or( probability that person B solves the Problem)

This can be written as:

= P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

If  A and B are independent, then P(A ∩ B) = P(A). P(B)

Now, substitute the values,

= (1/2) × (1/3)

P(A ∩ B) = 1/6

Now, the probability of problem solved is written as

P(Problem is solved) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= (1/2) + (1/3) – (1/6)

= (3/6) + (2/6) – (1/6)

= 4/6

= 2/3

Hence, the probability of the problem being solved is 2/3.