Где функция f, определяемая формулой f(z)=3x2y-y3+x2-3x+i(-x3+3xy2+2y2), дифференцируема? Где аналитика?

Числа вида x+iy, где x и y — действительные числа, а «i» — йота (или √-1), «i» или iota — решение уравнения a ² +1=0, называются комплексными числами. Комплексное число состоит из двух частей: действительной части и мнимой части. В x+iy x называется действительной частью, а iy — мнимой частью.

Пример комплексных чисел: 3+i4, -2i и т.д.

Сложные функции

Функция комплексной переменной — это отношение, которое сопоставляет комплексное число, скажем, «z», с другим комплексным числом «w». И это обозначается как

ш = F (г)

Если z=x+iy и w=U+iV, вообще говоря, U и V являются неявными функциями x и y. И вообще «w» можно обозначить как,

w=U(x,y)+ iV(x,y)

Примеры сложных функций,

• W = г ³
• W = x ² -y ² +5xy+ i(x+y)

Мы можем видеть во втором примере, что действительная и мнимая части «W» могут быть неявной функцией x и y, где z=x+iy.

Примечание. Неявная функция определяется как функция с возможными несколькими переменными.

Пример:

• G(х,у)=х ² +у ²
• G(вес,т)=5вес

Дифференцируемая сложная функция

Сложная функция F[z] называется дифференцируемой при z=z ₀ , если при z=z ₀ существует следующий предел.

lim _δz⇢0 (F(z+δz)-F(z))/δz

существует при z=z ₀

В случае реальных функций {скажем, F(x)} мы приближались к пределу только с двух направлений, т. е. левого предела (LHL) и правого предела (RHL), и мы обычно говорили, что если LHL = RHL = F(x), то функция дифференцируема. Но в случае сложных функций существует бесконечное число направлений, с которых можно подойти к пределу.

Для лучшего понимания решения вышеуказанного ограничения рассмотрим следующий пример:

Пример: проверьте дифференцируемость F(z)=z ² .

Решение:

We know that for a function to be differentiable at any z₀ the following limit should exist at z=z₀ 

lim _δz⇢0 (F(z+δz)-F(z))/δz  exists at z=z₀

Now for the function to be differentiable the limit value along any two directions(path) must be equal.

F(z+δz)-F(z)=(z+δz)²-z² =z² +2zδz+δz² -z²= 2zδz+ δz²

lim _δz⇢0 (F(z+δz)-F(z))/δz 

⇒lim _δz⇢0 (2zδz+ δz2)/δz

We have z=x+ iy and δ z=δ x + iδ y.
Consider first path along horizontal line(parallel to x-axis) i.e, δy=0

lim _δx⇢0 (δx +(2x+2iy) = 2x+2iy =2z

Consider second path along vertical line(parallel to y axis) i.e., δ x=0.

lim _δy⇢0 (δx +(2x+2iy) = 2x+2iy =2z

So the limit values along horizontal and vertical direction are both equal to 2(x+iy) or 2z.
And as the function consists of polynomial parameters it is continuous also, Hence the function F(z)=z² is differentiable at all z ∈ complex number.

Примечание. Если F(z)=z ⁿ , то F'(z)=nz ^{n-1} .

Некоторые основные правила дифференциации сложных функций:

• dc/dz = 0, где c — комплексная постоянная.
• d (f ± g) /dz= df/dz ± dg/dz
• d(cf )/dz = c df/dz, где c — комплексная константа
• d(fg)/dz = g df/dz + f dg/dz
• d/dz ( f/g ) = (g df/dz − f dg/dz)/g ²

Примечание. В приведенных выше правилах «с» — комплексная константа, а «g» и «f» — комплексные функции.

Достаточные условия дифференцируемости комплексной функции

Функция F[z]=U(x,y)+iV(x,y) называется дифференцируемой в области R комплексной плоскости, если для нее выполняются следующие условия:

1. Частные производные U(x,y) и V(x,y) по x и y должны существовать и быть непрерывными.
2. Частные производные U(x,y) по x = Частные производные V(x,y) по y
3. Частные производные U(x,y) по y = (-1) × Частные производные V(x,y) по x

Теорема. Комплексная функция F[z]=U(x,y)+iV(x,y) называется дифференцируемой в точке z ₀ , если существуют производные первого порядка U и V по x и y, а также удовлетворяют условию Коши . -Уравнения Римана .

Рассмотрим F (z) = U (x, y) + i V (x, y), где z = x + iy, тогда уравнения Коши-Римана задаются следующим образом:

1. (δU/δx) = (δV/δy)
2. (δU/δy) = −(δV/δx)

Работа над уравнениями Коши-Римана

До сих пор мы видели, что для того, чтобы функция F(z) была дифференцируемой в точке z ₀ , должен существовать заданный предел

lim _δz⇢0 (F(z+δz)-F(z))/δz существует при z=z ₀

Теперь F(z)=U(x,y) +iV(x,y)

Итак, F(z+δz)=U(x+δx,y+δy) + V(x+δx,y+δy)

Следовательно,
∴ {F (z + δz) − F (z)}/δz = {U (x + δx, y + δy) + iV (x + δx, y + δy) − U (x, y) − iV (x , y)}/δx + iδy ⇢(A)

Как (z=x+iy и δz=δx+iδy)

Теперь, в соответствии с дифференцируемостью, поскольку предел существует, значение предела вдоль любых двух направлений (пути) должно быть равным.
Рассмотрим первый путь вдоль горизонтальной линии (параллельно оси x), т. е. δy=0.
Таким образом, полагая δy=0 в уравнении (A), мы получаем

F ′(z) = { U (x + δx, y) + iV (x + δx, y) − U (x, y) − iV (x, y) }/δx
F ′(z) = { U (x + δx, y) − U (x, y) }/δx + i(V (x + δx, y) − V (x, y))/δx
F ′(z) = δU/δx + i δV/δx → (B)

Рассмотрим второй путь вдоль вертикальной линии (параллельно оси y), т.е. δx = 0, мы получаем

F ′(z) = { U (x, y + δy) + iV (x, y + δy) − U (x, y) − iV (x, y) }/iδy
F ′(z) = { U (x, y + δy) − U (x, y) }/iδy + i(V (x, y + δy) − V (x, y))/iδy
F ′(z) = (1/i) U/δy + V/δy

Так как (1/i = i/(i ² ) = -i), мы имеем,

F'(z)= -i(δU/δy) +(δV/δy) -> (C)

Как известно, дифференцирование сложной функции по любому направлению одинаково. Следовательно, Из (В) и (С) имеем

F'(z)= -i(δU/δy) +(δV/δy)= (δU/δx) +i(δV/δx)

Приравнивая действительные части, мы имеем
(δU/δx) = (δV/δy)
Приравнивая мнимую часть имеем
δU/δy = −(δV/δx)

Таким образом, мы приходим к уравнениям Коши-Римана.

Аналитичность

Комплексная функция F(z) называется аналитической при z = _z0 , если она дифференцируема при z = _z0 , а также в некоторых окрестностях _z0 .
Окрестность: Окрестность точки z ₀ — это множество всех точек z, где |z − z ₀ | < k, где k — положительная константа.
Если сложная функция является аналитической в определенной области, это означает, что она аналитическая в каждой точке этой области. Если комплексная функция является полностью аналитической (для всех z в комплексной плоскости), то эта функция называется полной функцией.
Примечание. Полиномиальные комплексные функции от z являются целыми функциями. Пример приведен ниже:
Пример F (z) = z ³ + 3z ² − 6z будет всюду аналитическим.
Важно отметить, что если функция является аналитической в области, то она будет определенно дифференцируема в той же области, но наоборот не всегда может быть верно. Аналитическая функция будет удовлетворять уравнениям Коши-Римана.
Давайте посмотрим, как мы проверяем аналитичность на примере:

Пример: Обсудите аналитичность F (z) = e ^x (cosy + i siny)

Решение:

We have U (x, y) = e^xcosy and V (x, y) = e^xsiny
δU/δx = e^xcosy
δU/δy = −e^xsiny
δV/δx = e^xsiny
δV/δy = e^xcosy
So we can clearly see that cauchy reimann equations are satisfied
δU/δx = δV/δy = e^xcosy
δU/δy = − δV/δx = e^xsiny

And Cauchy-Reimann equations for the function is true for all values of x and y and so the function is analytic for all z in complex plane.

Некоторые важные свойства аналитической функции:

1. Если комплексные функции F1 и F2 аналитические, то F1 ± F2, F1 ∗ F2 и F1/F2 также аналитические, тогда как для F1/F2 имеем, что F2 не равно 0.
2. Если функция является целой функцией, это подразумевает, что она аналитична, кроме того, это подразумевает дифференцируемость, что снова подразумевает непрерывность.
   Целое ⇒ Аналитическое ⇒ Дифференцируемое ⇒ Непрерывное.

Где функция f, определяемая формулой f(z)=3x ² y − y ³ + x ² − 3x + i(−x ³ + 3xy ² + 2y ² ), дифференцируема? Где аналитика?

Отвечать:

F (z) = U (x, y) + iV (x, y)
F (z) = 3x²y − y³ + x² − 3x + i(−x³ + 3xy² + 2y²)
U (x, y) = 3x²y − y³ + x² − 3x and V (x, y) = −x³ + 3xy² + 2y²
As both U and V are polynomial functions the partial derivatives of U and V w.r.t x and y will exist and be continuous.
Partial derivatives of U(x,y) w.r.t x= δU/δx = 6xy + 2x − 3
Partial derivatives of V(x,y) w.r.t x= δV/δx = 3y² − 3x²
Partial derivatives of U(x,y) w.r.t y= δU/δy = 3x² − 3y²
Partial derivatives of V(x,y) w.r.t y= δV/δy = 6xy + 4y

Partial derivatives of U and V w.r.t x and y are polynomial functions so it exists and are continuous everywhere.
Now according to Cauchy Reimann Equations we have
δU/δx = δV/δy
δU/δy = − δV/δx
Equating δU/δx and δV/δy we get
2x − 3 = 4y
Equating δU/δy and − δV/δx we can clearly see that
δU/δy = − δV/δx = 3x² − 3y²
Therefore for all z = x + iy having the values of x and y satisfying the linear condition 2x − 3 = 4y the function F (z) will be differentiable.
F (z) is differentiable only along the line 2x − 3 = 4y , not through any region (neighborhood)R. Hence F (z) is nowhere analytic.

Примеры проблем

Задача 1: Докажите, что функция наибольшего целого числа, определяемая формулой f(x) = [x], 4 < x < 8, не дифференцируема при x = 5 и x = 6.

Решение:

As the question given  f(x) = [x] where x is greater than 4 and less than 8. So we have to check the function is differentiable at point x =5 and at x = 6 or not. To check the differentiability of function, as we discussed above in Differentiation that LHD at(x=a) = RHD at (x=a) which means,

Lf’ at (x = a) = Rf’ at (x = a) if they are not equal after solving and putting the value of a in place of x then our function should not differentiable and if they both comes equal then we can say that the function is differentiable at x = a, we have to solve for two points x = 5 and x = 6. Now, let’s solve for x = 5

f(x) = [x]

Put x = 5 + h

Rf’ = lim_{h -> 0} f(5 + h) – f(5)

= lim_{h -> 0} [5 + h] – [5]

Since [h + 5] = 5

= lim_{h -> 0} (5 – 5) / h = 0

Lf"(1) = lim_{h -> 0} [f(5 – h) – f(5)] / -h

= lim_{h -> 0} ( [5 – h] – [5] ) / -h

Since [5 – h] = 4

= lim_{h -> 0} (4 – 5) / -h

= -1 / -0

= ∞

From the above solution it is seen that Rf’ ≠ Lf’, so function f(x) = [x] is not differentiable at x = 5. Now, let’s check for x = 6. As we solved for x = 5 in the same we are going to solve for x = 6. The condition should be the same we have to check that, Lf’ at (x = 6) = Rf’ at (x = 6) or not if they are equal then our function is differentiable at x = 6 and if they are not equal our function is not differentiable at x = 6. So, let’s solve.

f(x) = [x]

Differentiability at x=6

Put x = 6+h

Rf"(6) = lim_{h -> 0} f(6 + h) – f(6)

= lim_{h -> 0} ([6 + h] – [6]) / h

Since, 6 + h = 6

= lim_{h -> 0} (6 – 6) / h

= lim_{h ->0} 0 / h

=0

Lf"(6) = lim_{h -> 0} (f(6 – h) – f(6)) / -h

= lim_{h -> 0} ([6 – h] – [6]) / -h

= lim_{h -> 0} (5 – 6) / -h

Since [5 – h] =6

= -1 / -0

= ∞

From the above solution it is seen that Rf"(2) ≠ Lf"(2), so f(x) = [x] is not differentiable at x = [6]

Задача 2: f(x) = Покажите, что приведенная выше функция не выводима при x = 0.

Решение:

As we know to check the differentiability we have to find out Lf’ and Rf’ then after comparing them we get to know whether the function is differentiable at the given point or not. So let’s first find the Rf"(0).

Rf"(0) = lim_{h -> 0} f(0 + h) – f(0)

= lim_{h -> 0} (f(h) – f(0)) / h

= lim_{h -> 0} h . [{(e(1 / h) + 1) / (e(1 / h) – 1) } – 0]/h

= lim_{h -> 0} (e(1 / h) + 1) / (e(1 / h) – 1)

Multiply by e(1 / h)

= lim_{h -> 0} {1 + e(1 / h) / 1 – e(1 / h)}

= (1 + 0) / (1 – 0)

= 1

After solving we had find the value of Rf"(0) is 1. Now after this let’s find out the Lf"(0) and then we will check whether the function is differentiable or not.

Lf"(0) = lim_{h -> 0} { f(0 – h) – f(0) } / -h

= lim_{h -> 0} -h . [{e(-1 / h) + 1 / e(-1 / h) – 1} – 0] / -h

= lim_{h -> 0} { (e(-1 / h) + 1) / (e(-1 / h) – 1) }

= lim_{h -> 0} { (1 + e(-∞)) / (1-e(-∞))}

= (0 + 1) / (0 – 1)

= -1  

As we saw after solving Lf"(0) the value we get -1. Now checking if the function is differentiable or not, Rf"(0) ≠ Lf"(0) (-1≠1). Since Rf"(0) ≠ Lf"(0), so f(x) is not differentiable at x = 0.

Проблема 3. Функция — это f(x), определяемая формулой

f (х) = 1 + х из х < 3

f(x) = 5 – x из x ≥ 3

Проверить, дифференцируема ли функция f(x) при x = 3?

Решение:

So, for finding Lf"(3) we take the function f(x) = 1 + x, in the same way for finding Rf"(3) we take the function f(x) = (5 – x). Let’s find out Lf"(2) and Rf"(2)

Lf"(3) = lim_{h -> 0} {f(3 – h) – f(3)} / -h

= lim_{h -> 0} [[(2 – h) + 1] – [5 – 2]] / -h

= lim_{h -> 0} (3 – h – 3) / -h

= lim_{h -> 0} -h / h

= -1

Rf"(3) = lim_{h -> 0} {f(3 + h) – f(3)} / h

= lim_{h -> 0} [[5 – (3 + h)] – 2] / h

=lim_{h -> 0} h / h

= 1  

In the first line Lf"(3) after putting in the formula, for f(3) we are putting the second function (5 – x). After solving the Lf"(3) we get the value -1. For calculating Rf"(3) we are using the second function 5-x and putting in the formula of Rf’, on solving the Rf"(3) we get the value 1. Since, Rf"(3) ≠ Lf"(3) so we can say the function f(x) is not differentiable at x = 3.