Формулы теории множеств
В математике множество — это просто набор четко определенных отдельных объектов, образующих группу. Набор может содержать любую группу элементов, например, набор чисел, день недели или транспортное средство. Каждый элемент множества называется элементом множества. Фигурные скобки используются для создания наборов. Очень простой пример набора: Set A = {1,2,3,4,5}. Существуют различные обозначения для представления элементов множества. Наборы обычно выражаются с использованием либо формы списка, либо формы построителя наборов.
В математике множество определяется как набор неизменяемых объектов с фиксированными элементами. Элементы не могут повторяться в наборе, но могут быть записаны в любом порядке. Наборы обозначаются заглавными буквами. В теории множеств элементами, из которых состоит множество, может быть что угодно: человек, буква алфавита, число, фигура или переменная.
Мы знаем, что множество четных натуральных чисел меньше 20 определено, тогда как множество умных учеников класса не определено. Итак, множество четных натуральных чисел меньше 20 можно записать как множество A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.
Элементы наборов
Возьмем пример. А = {2, 4, 6, 8}. A — это множество, а 2, 4, 6 и 8 — это элементы множества или члены множества. Элементы, написанные в наборе, могут использоваться в любом порядке, но не могут повторяться. Все элементы множества обозначаются строчными буквами алфавита.
Мы также можем записать это как 2 ∈ A, 4 ∈ A и т. д. Мощность множества равна 4. Вот некоторые часто используемые множества.
- N : Набор полностью натуральных чисел
- Z : Набор всех целых чисел
- Q : Множество всех рациональных чисел
- R : Набор всех действительных чисел
- Z + : Набор всех положительных целых чисел.
Кардинальное число или мощность набора
Кардинальное число, кардинальность или порядок набора указывает общее количество элементов в наборе . Для натуральных четных чисел, меньших 10, n(A) = 4. Множество определяется как уникальный набор элементов. Одним из важных условий определения множества является то, что все элементы множества должны иметь общие свойства.
например. A = { 2, 4, 6, 8 } , мощность множества A равна 4.
Представление набора
Существуют различные нотации множеств, используемые для представления множеств, способы нумерации элементов различаются. Для представления множеств используются три обозначения множеств.
- Семантическая форма: семантическая нотация описывает оператор, чтобы показать, что является элементами набора. Например, набор A — это список первых пяти четных чисел.
- Форма реестра: наиболее распространенной формой, используемой для представления набора, является форма реестра, в которой элементы набора заключены в фигурные скобки, разделенные запятыми. Пример: для конечного набора: набор A = {0, 1, 2, 3, 4} (первые пять целых чисел)
Для бесконечного множества: Set B = {2, 4, 6, 8…. } (кратно 2) - Форма построителя набора: метод определения набора путем описания его свойств, а не перечисления его элементов, известен как нотация построителя набора. Построение набора в нотации Set Builder также известно как понимание набора, абстракция набора и установка намерений. Нотация построителя наборов содержит одну или несколько переменных и правил для определения того, какие элементы принадлежат набору, а какие нет. Это правило часто выражается в форме предиката. Заданные правила и переменные разделяются вертикальной косой чертой «|». или двоеточие (:). Этот метод широко используется для описания бесконечных множеств. Например, А = {к | k — нечетное число, k ≤ 20}
Визуальное представление наборов с помощью диаграммы Венна: Диаграмма Венна — это графическое представление различных наборов. Это помогает учащимся визуализировать логические отношения между различными наборами. Диаграммы Венна позволяют легко понять различия и сходства между множествами. Диаграмма Венна представляет элементы набора, обычно представленные кругами, а перекрывающиеся круги представляют общие элементы набора.
На рисунке выше показано визуальное представление наборов A и B, заданное как A = {a, b, c} и B = {c, d, e}.
Типы наборов
Одиночные наборы
Множество, состоящее только из одного элемента, называется одноэлементным множеством.
Пример: А = {м | m — натуральное число от 3 до 5}, то есть A = {4}.
Пустые наборы
Множество, не имеющее элементов, называется пустым или нулевым множеством. Пустое множество обозначается символом «∅». Читается как «фи».
Пример: B = {x : 1 < x < 2, x — целое число}.
Конечные множества и бесконечные множества
Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным множеством, тогда как множество, элементы которого нельзя вычислить, называется бесконечным множеством.
Пример: множество A = {1, 5, 9} является конечным множеством, так как оно имеет конечное число элементов.
Множество C (множество натуральных чисел) = {1, 2, 3, 4, 5, ……….} — бесконечное множество.
Эквивалентные наборы
Если два разных множества имеют одинаковое количество элементов, то говорят, что они эквивалентны.
Пример: если A = {3, 5, 7, 9} и B = {a, b, c, d}
Оба множества A и B состоят из 4 элементов. Таким образом, множество A и множество B являются эквивалентными множествами.
Равные наборы
Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов и порядок элементов не имеет значения.
Пример: пусть X = {2, 4, 6, 8} и Y = {6, 2, 4, 8}, тогда X = Y.
Неравные наборы
Два множества неравны, если они имеют хотя бы один другой элемент.
Пример: пусть X = {2, 5, 6, 8} и Y = {6, 2, 4, 8}, тогда X и Y — неравные множества.
Непересекающийся набор
Два множества А и В называются непересекающимися, если они не содержат ни одного общего элемента.
Пример: пусть X = {5, 6, 7, 8} и Y = {3, 9, 12, 15}. Здесь множество X и множество Y — непересекающиеся множества.
Подмножество и надмножество
Для двух множеств A и B, если все элементы множества A находятся в множестве B, то множество A является подмножеством множества B (A ⊆ B), а B является надмножеством множества A (B ⊇ A).
Пример: А= {2, 4, 6}
Итак, { 2, 4 } ⊆ A.
Другими подмножествами множества A являются: {2}, {4}, {6}, {2,6}, {4, 6}, {2,4,6},{}.
Правильное подмножество
Для двух множеств A и B, если A является подмножеством B и A не равно B, то A является правильным подмножеством B.
Пример: A = {2, 4, 6} и B = {2, 7, 5, 4, 6}, здесь A — подмножество множества B, а A не равно B, поэтому A — правильное подмножество B. .
Универсальный набор
Универсальный набор – это совокупность всех элементов, относящихся к определенному предмету. Универсальные наборы обозначаются буквой «У».
Пример: если X = {2, 4} и U = {2, 3, 4, 5}, то U = {1,2,3,4,5} является универсальным множеством.
Набор мощности
Набор, содержащий все подмножества набора, называется набором мощности этого набора.
Пример: A = {2, 4, 6}, тогда P(A) = {{2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4, 6}, {2 ,4,6 }, { } } .
Операция над наборами
Союз наборов
Объединение множеств, обозначаемое AUB, перечисляет элементы множеств A или B хотя бы один раз.
Пример: если A = {2, 4, 6} и B = {2, 7, 5, 4, 6}, то AUB = {2, 4, 5, 6, 7}.
Пересечение множеств
Пересечение множеств, обозначаемое A ∩ B, содержит список элементов, общих для множеств A и B.
Пример: если A = {2, 4, 6} и B = {2, 7, 5, 4, 6}, то A ∩ B = {2, 4, 6}.
Отличие наборов
Разность множеств, обозначаемая A-B, перечисляет элементы множества A, которых нет в множестве B.
Пример: если A = {2, 7, 5, 4, 6} и B = {2, 4, 6}, то A – B = {5, 7}.
Дополнение набора
Дополнением множества, обозначаемого A', является множество всех элементов универсального множества, не существующих в множестве A. То есть A' обозначается как U – A, что является разностью между элементами универсального множества и установить А.
Декартово произведение множеств
Декартово произведение двух множеств, обозначаемое A × B, — это произведение двух непустых множеств, которое дает упорядоченную пару элементов.
Пример: если A = {1, 3} и B = {2, 4}, то A × B = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)}.
Установить формулы
Формула множества — это формула, связанная с теорией множеств в математике. Набор — это четко определенный набор объектов, состоящий из отдельных элементов. Знание набора помогает применять формулы набора в областях, связанных со статистикой, вероятностью, геометрией и последовательностями.
Установите формулы для количества элементов наборов
Если n(A) и n(B) представляют количество элементов в двух конечных множествах A и B соответственно, то
- n (A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A U B)
- n(A) = n(A U B) + n(A ∩ B) – n(B)
- n(B) = n(A U B) + n(A ∩ B) – n(A)
Если множества A и B непересекающиеся множества, то
- n(A U B) = n(A) + n(B)
- A ∩ B = ∅
- n(A – B) = n(A)
Формулы наборов по свойствам наборов
Формулы множества обладают почти теми же свойствами, что и действительные или натуральные числа. Агрегации также обладают коммутативными, ассоциативными и дистрибутивными свойствами. Формула множества по свойствам множества выглядит следующим образом.
- Коммутативность
A⋂ B = B⋂ A
A∪ B = B∪ A
- Ассоциативность
A⋂ (B⋂ C) = (A⋂ B)⋂ C
A∪ (B∪ C) = (A∪ B)∪ C
- Дистрибутивность
A ⋂ (B∪ C) = (A ⋂ B) ∪ (A⋂ C)
- Идемпотентный закон
A ⋂ A = A
A ∪ A = A
- Закон Ø и U
A⋂ Ø = Ø
U ⋂ A = A
A ∪ Ø = A
U ∪ A = U
Наборы формул наборов дополнений
Формулы множеств дополнения множеств включают основной закон дополнения, закон Де Моргана, двойное дополнение и закон пустых и универсальных множеств.
- Complement Law A∪A’ = U, A⋂A’ = Ø and A’ = U – A
- De Morgan’s Laws (A ∪B)’ = A’ ⋂B’ and (A⋂B)’ = A’ ∪ B’
- Law of Double complementation (A’)’ = A
- Laws of Empty set and Universal Set Ø’ = ∪ and ∪’ = Ø
Множества Формулы разности множеств
- A – A = Ø
- B – A = B⋂ A’
- B – A = B – (A⋂B)
- (A – B) = A if A⋂B = Ø
- (A – B) ⋂ C = (A⋂ C) – (B⋂C)
- A ΔB = (A-B) U (B- A)
- n(AUB) = n(A – B) + n(B – A) + n(A⋂B)
- n(A – B) = n(A∪B) – n(B)
- n(A – B) = n(A) – n(A⋂B)
- n(A’) = n(∪) – n(A)
Примеры вопросов
Вопрос 1: Что такое множество в математике? Приведите примеры.
Отвечать:
A set is a collection of individual elements enclosed in braces and separated by commas. Example: Collecting vegetables, collecting notebooks. Alternatively, the set can be expressed as set A = { 1, 2, 3, 4 } where 1, 2, 3, and 4 are elements of set A.
Вопрос 2: Почему мы используем множества в математике?
Ответ :
The purpose of using sets is to represent a set of related objects in a group. In mathematics, we usually refer to groups of numbers, such as groups of natural numbers, sets of rational numbers, etc.
Вопрос 3: Что такое объединение множеств?
Отвечать:
The union of two sets A and B contains elements of both sets A and B . It is denoted by the symbol “U”. For example, if set A = { 2,3 } and B = { 5,6 } then AUB = { 2,3,5,6 }.
Вопрос 4: Как мы можем представить данное множество в форме построителя множеств A = {1, 3, 5, 7, 9}
Отвечать:
We can represent the given set in set-builder form as A = { x | x is an odd natural number less than 10 }.
Вопрос 5: Даны A = {10, 12, 14, 16, 18} и B = {14, 16}. Найдите AUB и A ⋂ B и A – B.
Отвечать:
As , A = { 10, 12, 14, 16, 18 } and B = { 14, 16 }
A U B = { 10, 12, 14, 16, 18 }
A ⋂ B = { 14, 16 }
A – B = { 10, 12, 18 }
Вопрос 6: Какова формула пересечения множеств?
Отвечать:
The set expression for the intersection of sets A and B is denoted by ⋂ and n(A⋂B) denotes the elements common to sets A and B. So, formula for intersection of sets is given by n(A⋂B) = n(A) + n(B)- n(A∪B) .
Вопрос 7: Каково применение установленных формул?
Отвечать:
Set formulas have broad application in many abstract concepts.
For example, if R is the set of real numbers and Q is the set of rational numbers, then R – Q is the set of irrational numbers.
Probability theory adopts set rules. For example, a sample space is a universal set. If A and B are two mutually exclusive events, then P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A⋂B).
Вопрос 8: В классе 240 учеников, из них 92 играют в бадминтон, 60 в настольный теннис, 80 в регби, 27 играют в бадминтон и настольный теннис, 20 играют в регби и настольный теннис, 16 играют в бадминтон и регби и 60 играют во все 3 игры. Находить
- Количество учащихся, играющих в бадминтон, настольный теннис и регби.
- Количество студентов, играющих в бадминтон, а не в регби.
- Количество учащихся, играющих в бадминтон и регби, а не в настольный теннис.
Отвечать:
Consider, that n(U) is the total number of students in class and n(B), n(T), and n(R) is the number of students who play badminton, table tennis, and rugby respectively.
Here, n(B∩T) is the number of students who play both badminton and tennis, n(R∩T) is the number of students who play both rugby and tennis and n(B∩R) is the number of students who play both badminton and rugby.
We are given that: n(U) = 240 , n(B)=92 , n(T)=60 , n(R)=80 , n(B∩T)=27 , n(R∩T)=20, n(B∩R)=16 and n(B’∩T’∩R’) ( number of students which do not play any of the three games ) = 60
Given n(B’∩T’∩R’)=60 ⇒n(B∪T∪R)’=60
So, n(B∪T∪R) = n(U) -n(B∪T∪R)’ = 240-60=180
Now , n(B∪T∪R) = n(B) + n(T) + n(R) – n(B∩T) – n(R∩T) – n(B∩R) + n(B∩T∩R)
180= 92+60+80-27-20-16+n(B∩T∩R)
n(B∩T∩R) =180+63-232=243-232=11
- Number of students who play badminton, table tennis and rugby = 11.
- Number of students who play badminton but not rugby, n(B-R) = n(B)-n(B∩R)=92-16=76
- Number of students who play badminton and rugby but not table tennis ,n(B∩R∩T’)= n(B∩R)-n(B∩R∩T) =16-11=5.
Вопрос 9: При опросе 800 учащихся в школе было обнаружено, что 250 учеников пьют мохито, 500 пьют сок, 150 пьют и мохито, и сок. Найдите, сколько студентов не пили ни мохито, ни сока.
Отвечать:
Consider n(U) is the total number of students in school , n (M) is the number of students which are drinking mojito , n (J) is the number of students which are drinking juice , n(M∩J) are the number of students which are drinking both mojito and juice
Given , n(U) = 800, n(M)=250,n(J)=500,n(M∩J) =150
We have to find number of students which are drinking neither mojito nor juice , n(M’∩J’) = n(M∪J)’
n(M∪J)’ =n(u)-n(M∪J)
n(M∪J) =n(M) +n(J)-n(M∩J)=250+500-150=600
n(M∪J)’ = 800-600=200.