Формулы Sin Cos в тригонометрии с примерами

Тригонометрия, как следует из ее названия, изучает треугольники. Это важный раздел математики, изучающий взаимосвязь между длинами сторон и углами прямоугольного треугольника, а также помогающий определить недостающие длины сторон или углы треугольника. Существует шесть тригонометрических отношений или функций: синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс, где косеканс, секанс и котангенс являются обратными функциями трех других функций, т. е. синуса, косинуса и тангенса соответственно. Тригонометрическое отношение определяется как отношение длин сторон прямоугольного треугольника. Тригонометрия используется в различных областях нашей повседневной жизни. Это помогает определить высоту холмов или зданий. Он также используется в таких областях, как криминология, строительство, физика, археология, морское машиностроение и т. д.

Формулы шести тригонометрических соотношений/функций

Рассмотрим прямоугольный треугольник XYZ, где ∠Y = 90°. Пусть угол при вершине Z равен θ. Сторона, примыкающая к «θ», называется смежной стороной, а сторона, противоположная «θ», называется противоположной стороной. Гипотенуза — это сторона, противоположная прямому углу или самая длинная сторона прямого угла.

• sin θ = Opposite side/Hypotenuse
• cos θ = Adjacent side/Hypotenuse
• tan θ = Opposite side/Adjacent side
• cosec θ = 1/sin θ = Hypotenuse/Opposite side 
• sec θ = 1/ cos θ = Hypotenuse/Adjacent side
• cot θ = 1/ tan θ = Adjacent side/Opposite side

Формула синуса

The sine of an angle in a right-angled triangle is the ratio of the length of the opposite side to the length of the hypotenuse to the given angle. A sine function is represented as “sin”.

sin θ = Opposite side/Hypotenuse

Формула косинуса

The cosine of an angle in a right-angled triangle is the ratio of the length of the adjacent side to the length of the hypotenuse to the given angle. A cosine function is represented as “cos”.

cos θ = Adjacent side/Hypotenuse

Некоторые основные формулы синуса и косинуса

Функции синуса и косинуса в квадрантах

• Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах и отрицательна в третьем и четвертом квадрантах.
• Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах и отрицательна во втором и третьем квадрантах.

Degrees	Quadrant	Sign of Sine function	Sign of Cosine function
0° to 90°	1st quadrant	+ (positive)	+ (positive)
90° to 180°	2nd quadrant	+ (positive)	– (negative)
180° to 270°	3rd quadrant	– (negative)	– (negative)
270° to 360°	4th quadrant	– (negative)	+ (positive)

Идентичность отрицательного угла функций синуса и косинуса

• Синус отрицательного угла всегда равен отрицательному синусу угла.

sin (– θ) = – sin θ

• Косинус отрицательного угла всегда равен косинусу угла.

cos (– θ) = cos θ

Связь между функцией синуса и косинуса

sin θ = cos (90° – θ)

Обратные функции синуса и косинуса

• Функция косеканса — это функция, обратная синусоидальной функции.

cosec θ = 1/sin θ

• Функция секущей является обратной функцией функции косинуса.

sec θ = 1/cos θ

Пифагорейская идентичность

sin²θ + cos²θ = 1

Периодические тождества функций синуса и косинуса

sin (θ + 2nπ) = sin θ

cos (θ + 2nπ) = cos θ

Формулы двойного угла для функций синуса и косинуса

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

cos 2θ = cos²θ – sin²θ = 2 cos²θ – 1 = 1 – 2 sin²θ

Полуугольные тождества для функций синуса и косинуса

sin (θ/2) = ±√[(1 – cos θ)/2]

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Тождества тройного угла для функций синуса и косинуса

sin 3θ = 3 sin θ – 4 sin³θ

cos 3θ = 4cos³θ – 3 cos θ

Формулы суммы и разности

• Синусоидальная функция

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

• Функция косинуса

cos (A + B) =  cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Закон синусов или правило синусов

Закон синусов правила синусов - это тригонометрический закон, который дает связь между длинами сторон и углами треугольника.

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Where a, b, and c are the lengths of the three sides of the triangle ABC, and A, B, and C are the angles.

Закон косинусов

Закон косинусов правила косинуса используется для определения отсутствующих или неизвестных углов или длин сторон треугольника.

a² = b² + c² – 2bc cos A

b² = c² + a² – 2ca cos B

c² = a² + b² – 2ab cos C

Where a, b, and c are the lengths of the three sides of the triangle ABC, and A, B, and C are the angles.

Таблица значений функций синуса и косинуса

Задачи на основе формул синусов и формул косинусов

Задача 1: Если cos α = 24/25, то найти значение sin α.

Решение:

Given,

cos α = 24/25

From the Pythagorean identities we have;

cos² θ + sin² θ = 1

(24/25)² + sin² α = 1

sin²α = 1 – (24/25)²

sin² α = 1 – (576/625) = (625 – 576)/625

sin² α = (625 – 576)/625 = 49/626

sin α = √49/625 = ±7/25

Hence, sin α = ±7/25.

Задача 2: Докажите формулы sin 2A и cos 2A, если ∠A= 30°.

Решение:

Given, ∠A= 30°

We know that,

1) sin 2A = 2 sin A cos A

sin 2(30°) = 2 sin 30° cos 30°

sin 60° = 2 × (1/2) × (√3/2)  {Since, sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 and sin 60° = √3/2}

√3/2 = √3/2

L.H.S = R.H.S

2) cos 2A = 2cos²A – 1

cos 2(30°) = 2cos²(30°) – 1

cos 60° = 2(√3/2)² – 1 = 3/2 – 1 {Since, cos 60° = 1/2 and cos 30° = √3/2}

1/2 = 1/2

L.H.S = R.H.S

Hence proved.

Задача 3. Найдите значение cos x, если tan x = 3/4.

Решение:

Given, tan x = 3/4

We know that,

tan x = opposite side/adjacent side = 3/4

To find the hypotenuse, we use Pythagoras theorem:

hypotenuse² = opposite² + adjacent²

H²= 3² + 4²

H² = 9 + 16 = 25 

H = √25 = 5

Now, cos x = adjacent side/hypotenuse

cos x = 4/5

Thus, the value of cos x is 4/5.

Задача 4: Найдите ∠C (в градусах) и ∠A (в градусах), если ∠B = 45°, BC = 15 дюймов и AC = 12 дюймов.

Решение:

Given: ∠B = 45°, BC = a = 15 in, and AC = b = 12 in.

From the law of sines, we have

a/sin A = b/sin B = c/sin C

⇒ a/sin A = b/sin B

⇒ 15/sin A = 12/sin 45°

⇒ 15/sin A = 12/(1/√2)

⇒ 15/sin A = 12√2 = 16.97

⇒  sin A = 15/16.97 = 0.8839

⇒  ∠A = sin^-1(0.8839) = 62.11°

We know that, sum of interior angles of a triangle is 180°.

So, ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 62.11° + 45° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 180° – (62.11° + 45°) = 72.89°

Hence, ∠A = 62.11° and ∠C = 72.89°.

Задача 5. Докажите тождество полууглов функции косинуса.

Решение:

The half-angle identity of the cosine function is :

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

From double angle identities, we have,

cos 2A = 2 cos²A – 1

Now replace A with θ/2 on both sides

⇒ cos 2(θ/2) = 2 cos² (θ/2) – 1

⇒ cos θ = 2 cos² (θ/2) – 1

⇒ 2cos²(θ/2) = cos θ + 1

⇒ cos²(θ/2) = (cos θ + 1)/2

⇒ cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Hence proved.