Формулы сферы

Сфера представляет собой круглый трехмерный объект. В отличие от других трехмерных фигур, сфера не имеет вершин и краев. Расстояние от центра сферы до любой точки поверхности одинаково. В геометрии сфера — это объемная фигура круглой формы. С математической точки зрения это комбинация множества точек, соединенных общими точками, равноудаленными в трех измерениях. Примеры сфер включают баскетбол, мыльные пузыри и теннисные мячи.

Формулы сферы

There are three main formulas for a sphere, including formulas for the diameter of the sphere, the surface area of ​​the sphere, and the volume of the sphere. All of these formulas are listed in the table below.

Diameter of sphere	D=2r
Surface area of sphere	A=4πr2
volume of sphere	(4/3)πr3

Что такое площадь поверхности шара?

Площадь, покрытая внешней поверхностью сферы, называется площадью поверхности сферы. Сфера представляет собой трехмерную форму круга. Основное различие между сферой и кругом заключается в том, что круг имеет двумерную (2D) форму, тогда как сфера имеет трехмерную форму.

Вывод площади поверхности сферы

Поскольку сфера круглая, мы связываем ее с изогнутой формой, такой как цилиндр, чтобы найти площадь поверхности. Цилиндр имеет криволинейную поверхность, а также плоскую поверхность. Теперь, если радиус цилиндра равен радиусу сферы, это означает, что сфера может идеально вписаться в цилиндр. Это приводит нас к выводу, что высота цилиндра равна высоте сферы. Так что эту высоту можно назвать диаметром сферы.

Мы знаем, что если радиусы цилиндра и сферы одинаковы, то

Surface Area of Sphere = Lateral Surface Area of Cylinder                                                                             (Proved by Archimedes)

Теперь площадь боковой поверхности цилиндра = 2πrh

а высоту цилиндра также можно назвать диаметром сферы, потому что мы предполагаем, что эта сфера безупречно помещается в цилиндре.

Следовательно, высота цилиндра = диаметру сферы = 2r.

       So,   surface area of sphere is 2πrh = 2πr(2r) = 4πr²                                                                                             ( because h=2r)

Also, the Curved surface area of the sphere is equal to 4πr² as there is no flat surface in a sphere.

Пример : Если радиус шара равен 14 см, найдите площадь его поверхности. (вы можете использовать π = 3,14 для вашего удобства).

Решение:

It is given that the Radius of the sphere is 14cm.

Now, the Surface area of sphere = 4πr² = 4 * π *(14)² = 24 cm²

Каков объем шара?

Объем шара – это пространство, занимаемое внутренней частью шара. Нарисуйте полукруг на листе бумаги и поверните его на 360 градусов, чтобы получилась сфера. Есть два типа сфер: твердые сферы и полые сферы. Объемы двух типов сфер различны. В следующем разделе мы узнаем о томах.

Вывод объема сферы

Как уже доказал Архимед, если цилиндр, конус или сфера имеют радиус «r» и одинаковую площадь поперечного сечения, то их объемы относятся как 1:2:3.

Поэтому мы можем сказать, что

 Volume of Cylinder = Volume of Cone + Volume of Sphere

Объем сферы = объем цилиндра – объем конуса

Теперь из предыдущего знания мы должны знать, что объем цилиндра = πr ² ч и объем конуса = (1/3) πr ² ч.

подставляя значения в приведенное выше выражение, мы получаем

Объем сферы = πr ² ч – (1/3)πr ² ч = (2/3)πr ² ч

мы предполагаем, что высота цилиндра = диаметру сферы = 2r

Hence, volume of sphere is (2/3)πr²h = (2/3)πr²(2r) = (4/3)πr³

Кроме того, если у нас есть полая сфера, то

Пусть R = радиус внешней сферы, r = радиус внутренней сферы, тогда

Объем полой сферы = объем внешней сферы – объем внутренней сферы.

⇒ Volume of hollow sphere  =  (4/3)πR³ – (4/3)πr³ = (4/3)π(R³ – r³)

Пример 1: Найдите объем шара, радиус которого равен 6 см.

Решение :

It is given that the radius of the sphere is 6cm.

Now, Volume of sphere = (4/3)πr³ =  ((4/3) × π × (6cm)³) = 904.779 cm³ 

Пример 2: Найдите объем сферы, внутренний радиус которой равен 5 см, а внешний радиус равен 8 см.

Решение :

Outer radius of sphere R = 8 cm.

and Inner radius of sphere r = 5 cm.

Now,  Volume of hollow sphere   = (4/3)π(R³ – r³) = (4/3)π((8cm)³ – (5cm)³) = 1621.062 cm³.

полушарие

Полушарие составляет половину шара. Другими словами, если сфера разрезается на две симметричные части через центр, то она называется полусферой. Поскольку это половина сферы, то объем и площадь поверхности равны половине объема и площади поверхности сферы.

Volume of hemisphere = (1/2)(4/3)πr³

Surface area of Sphere = (1/2)(4πr²)

Свойства сферы

Ниже приведены свойства сферы:

1. У него нет ни вершины, ни ребра.
2. Это не многогранник.
3. Все точки сферы находятся на одинаковом расстоянии от центра.
4. У него изогнутое лицо, а не плоское лицо.
5. Он идеально симметричен.

Сравнение круга и сферы

Примеры вопросов

Вопрос 1: Диаметр бейсбольного мяча 80 мм. Найдите объем бейсбольного мяча. (π = 3,14)

Решение:

 we are given that Diameter                D = 2r 

                                                            D = 80mm.

                                                            r = 40mm

Now,                          Volume of sphere = (4/3)πr³ = (4/3)π(40mm)³ = 268082.573 mm³

Вопрос 2: Полые сферы сливаются в такую же маленькую полую сферу. Внутренний и внешний радиусы большей сферы равны 5 см и 7 см соответственно. Если внутренний и внешний радиусы маленьких сфер равны 3 см и 4 см соответственно, сколько маленьких сфер можно составить? (π = 3,14)

Решение:

We know that Volume of the sphere = (4/3)πr³

Now, Volume of the bigger sphere = volume of the sphere with outer radius – volume of the sphere with inner radius

⇒  Volume of the bigger sphere =  (4/3) * π * (7cm)³ –  (4/3)π(5cm)³

⇒  Volume of the bigger sphere =  (4/3) * π * (343-125) = (4/3) * π * (218) cm³

In the same way, Volume of smaller sphere = (4/3) * π * (4cm)³  – (4/3) * π * (3cm)³

⇒  Volume of the smaller sphere =   (4/3) * π *(64-27) = (4/3) * π * (37) cm³

hence, the number of spheres that can be formed = volume of the bigger sphere/ volume of the smaller sphere

therefore, the number of spheres that can be formed = (4/3) * π * (218) cm³/ (4/3) * π * (37) cm³

⇒ the number of spheres that can be formed = 5.92 ≈ 6 spheres.

Вопрос 3: Когда вы меняете форму предмета со сферы на цилиндр, то объем цилиндра увеличивается, уменьшается или остается неизменным. (π = 3,14)

Решение:

Volume is a scalar quantity that describes the volume of 3D space surrounded by nearby surfaces.

When transforming a body into another body, the amount of material remains the same, so the volume of the body does not change.

Hence, the volume remain Unchanged.

Вопрос 4: Площадь шара 500 см ² . Если вы измените радиус, чтобы уменьшить площадь на 50%, то найдите радиус. (π = 3,14)

Решение:

Since the area get reduced by 50%, we can say that

New surface area = 50% of the original area

⇒ 4πr² = 1/2 * 500 

⇒ r² = ( 1/2 * 500 ) / 4π

⇒ r²=250/12.56

⇒ r² = 19.8945 

⇒ r = 4.46 cm