Формула сокращения

Интеграцию, включающую термины более высокого порядка, трудно обрабатывать и решать. Таким образом, чтобы упростить процесс решения терминов более высокого порядка и избавиться от процесса решения длинных выражений терминов более высокого порядка, процессы интеграции можно упростить с помощью формул редукции.

Формула редукции приходит на помощь, чтобы упростить члены более высокого порядка. Интегрирование членов более высокого порядка, состоящих из логарифмических, алгебраических и тригонометрических функций, упрощается с помощью формул приведения. n Формула редукции, членам степени более высокого порядка присваивается степень n. Формулы приведения степени n выводятся из базовых формул интегрирования. Все правила интегрирования применимы и к этим формулам приведения.

Формула редукции для различных выражений приведена ниже:

Формулы приведения для логарифмических выражений

∫ logⁿx dx = xlogⁿx -n∫log^n-1x dx

∫xⁿlog^mx dx = xⁿ⁺¹log^mx/ n+1 – m/n+1 .∫xⁿlog^m-1x dx

Формулы приведения для алгебраических выражений

∫ xⁿ/mxⁿ+k dx = x/m – y/k∫ 1/mxⁿ+k dx

Формулы приведения для тригонометрических выражений

∫ sinⁿx dx = -1/n sin^n-1x. cosx + n-1/n∫sin^n-2x dx

∫ cosⁿx dx = 1/n cos^n-1x.sinx + n-1/n∫cos^n-2x dx

∫ tanⁿx dx = 1/n-1 tan^n-1x – ∫tan^n-2x dx

∫ sinⁿx.cos^mx dx = sinⁿ⁺¹x. cos^m-1x / n+m   +.   m-1/n+m∫ sinⁿx.cos^m-2x dx

Формулы приведения для экспоненциальных выражений

∫ xⁿe^mx dx = 1/m. xⁿe^mx – n/m ∫x^n-1e^mx dx

Формулы приведения для формул приведения для обратных тригонометрических выражений

∫ xⁿ arc sinx dx = (xⁿ⁺¹/n+1) arc sinx – (1/n+1)∫(xⁿ⁺¹/(1-x²)^1/2) dx

∫ xⁿ arc cosx dx = (xⁿ⁺¹/n+1) arc cosx + (1/n+1)∫(xⁿ⁺¹/(1-x²)^1/2) dx

∫ xⁿ arc tanx dx = (xⁿ⁺¹/n+1) arc tanx – (1/n+1)∫(xⁿ⁺¹/(1+x²)^1/2) dx

Примеры проблем

Проблема 1: упростите ∫ x ² .log ² x dx

Решение:

Using formula ∫xⁿlog^mx dx = xⁿ⁺¹log^mx/ n+1 – m/n+1 .∫xⁿlog^m-1x dx

n=2, m=2

∫ x².log²x dx = x³log²x/3 – 2/3.∫x²logx dx

= x³log²x/3 – 2/3.∫x²logx dx

= x³log²x/3 – 2/3. (x³.logx/3 – 1/3. ∫x² dx)

= x³log²x/3 – 2/3. (x³.logx/3 – 1/3. x³/3)

= x³log²x/3 – 2/9. x³.logx – 2/27. x³

Проблема 2: упростите ∫ tan ⁵ x dx

Решение:

Using formula ∫ tanⁿx dx = 1/n-1 tan^n-1x – ∫tan^n-2x dx

∫ tan⁵x dx = 1/4 tan⁴x – ∫tan³x dx

= 1/4 tan⁴x – ∫tan³x dx

= 1/4 tan⁴x – ( 1/2tan²x – ∫ tanx dx)

= 1/4 tan⁴x – 1/2tan²x  + 1/2. ln secx

Задача 3: Упростить ∫ xe ^3x dx

Решение:

Using formula ∫ xⁿe^mx dx = 1/m. xⁿe^mx – n/m ∫x^n-1e^mx dx

= 1/3.xe^3x – n/m ∫e^3x dx

= 1/3.xe^3x – n/m . 3. e^3x dx

Проблема 4: Упростить ∫ log ² x dx

Решение:

Using ∫ logⁿx dx = xlogⁿx -n∫log^n-1x dx

∫ log²x dx = 2log²x -2∫logx dx

= 2log²x -2∫logx dx

= 2log2x -2xlogx

Проблема 5: Упростить ∫ tan ² x dx

Решение:

Using ∫ tanⁿx dx = 1/n-1 tan^n-1x – ∫tan^n-2x dx

n=2

∫ tan²x dx = tanx – ∫tan⁰x dx

∫ tan²x dx = tanx – x