Формула последовательности Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи — одна из самых известных формул в теории чисел. В последовательности Фибоначчи каждое число в ряду вычисляется путем сложения двух чисел перед ним. Как правило, первые два члена ряда Фибоначчи равны 0 и 1. Последовательность Фибоначчи была известна в Индии за сотни лет до того, как о ней узнал Леонардо Пизано Боголло. 23 ноября отмечается как День Фибоначчи, так как он имеет цифры «1, 1, 2, 3», которые являются частью последовательности.

Последовательность Фибоначчи выглядит следующим образом:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,…. 

Последовательность Фибоначчи полезна для ее операций в высшей математике и статистике, информатике, экономике и природе.

Формула числа Фибоначчи

F_n = F_n-1 + F_n-2

• F_n is term number “n”
• F_n−1 is the previous term (n−1)
• F_n−2 is the term before that (n−2)

Чтобы вычислить 5-е число Фибоначчи, сложите 4-е и 3-е числа Фибоначчи.

Золотое сечение

При выборе любых двух последовательных (одно за другим) чисел Фибоначчи их отношение близко к 1,618034 и называется золотым сечением. Обозначается буквой «ф». Золотое сечение обычно можно увидеть в природе, и когда оно применяется в дизайне, оно способствует созданию естественно кажущихся работ, которые радуют глаз. Существует множество операций золотого сечения в области архитектуры. Например, Великая пирамида Египта и Великая мечеть Кайруана — это многие архитектурные чудеса, в которых было применено понятие золотого сечения.

Например:

Note: Golden Ratio can be calculated from Any Fibonacci sequence, it does not necessarily have to start with 2 and 3.

Расчет числа Фибоначчи с использованием золотого сечения

Любое число Фибоначчи можно рассчитать по этой формуле:

x_n =  (φⁿ − (1−φ)ⁿ)/√5

x_n denotes Fibonacci number to be calculated

φ is Golden ratio that is 1.618034

Например: Если вы хотите вычислить 7-й член:

x₇ = ((1.618034)⁷-(1-1.618034)⁷)/√5

x₇ = 13.0000007

x₇ = 13(rounded off)

Следующее число Фибоначчи также можно рассчитать с помощью золотого сечения. Умножение числа Фибоначчи на золотое сечение даст следующее число Фибоначчи последовательности. Но это работает только для чисел больше 1.

Пример: 13*1,618034 = 21,034442 = 21 (округлено)

Некоторые проблемы, основанные на золотом сечении

Вопрос 1: Рассчитайте 9-е число Фибоначчи, если задано золотое сечение 1,618034.

Решение:

We can calculate the 9th Fibonacci number by using the formula:

x_n =  (φⁿ − (1−φ)ⁿ)/√5

x₉ = ((1.618034)⁹-(1-1.618034)⁹)/√5

x₉ = (76.0131604-(-0.0131556197))/√5 = 34.0000021 

x₉ = 34 

Вопрос 2: Найдите следующее число Фибоначчи, рассчитанное в приведенном выше вопросе.

Решение:

Next Fibonacci number of 34 can be easily found by multiplying it by the Golden ratio that is 1.618034.

x₁₀ = 34×1.61803 = 55.01302

x₁₀ = 55(rounded off)

Некоторые задачи, основанные на числах Фибоначчи

Вопрос 1: Если 5-й и 6-й члены последовательности Фибоначчи равны 3 и 5 соответственно, найдите 7-й член последовательности.

Решение:

With the use of the Fibonacci Sequence formula, we can easily calculate the 7th term of the Fibonacci sequence which is the sum of the 5th and 6th terms.

seventh term = 5th term + 6th term

= 3+5

= 8

The 7th term of the Fibonacci sequence is 8.

Вопрос 2: Первые 4 числа в последовательности Фибоначчи даны как 1,1,2,3.

а) Чему равен восьмой член последовательности Фибоначчи?

б) Что такое одиннадцатый член последовательности Фибоначчи?

Решение:

By the use of the Fibonacci number formula, we can calculate the rest of the Fibonacci numbers like 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.

(a) Therefore, the 8th term will be 21.

(b) 11th term will be 89.

Вопрос 3: Найдите следующие 3 термина для каждой из следующих последовательностей в стиле Фибоначчи.

(а) х, 4х, 5х, 9х,…

(б) 3а, 3а+б, 6а+б, 9а+2б….

Решение:

With the use of the Fibonacci Sequence formula, we can easily calculate the rest of the terms

(a) Fifth term = 5x+9x = 14x, 

     Sixth term = 9x+14x = 23x, 

     Seventh term = 14x+23x = 37x

(b) Fifth term = 6a+b+9a+2b = 15a+3b, 

     Sixth term = 9a+2b+15a+3b = 24a+5b, 

     Seventh term = 15a+3b+24a+5b = 39a+8b

Вопрос 4: Джон хочет сгенерировать ряд Фибоначчи с первым членом, равным 3, и вторым членом, равным 4.

а) Найдите 3-й и 4-й члены.

(b) Он считает, что сумма первых десяти членов равна одиннадцатикратному седьмому члену его последовательности. Проверьте, прав ли он.

Решение:

Using the 3 and 4 as first and second terms, we can calculate the rest of the terms by simply adding the last two terms.

(a) First term = 3, 

     Second term = 4, 

     Third Term = 3+4=7, 

     Forth term = 4+7 = 11

(b) On calculating the first ten terms of the series: 3,4,7,11,18,29,47,76,123,199.

      Sum of first ten terms = 3+4+7+11+18+29+47+76+123+199 = 517

      7th term = 47

      Eleven times the 7th term = 11*47 = 517

As we can see that the sum of the first ten terms is equal to eleven times the seventh term of his sequence. Therefore, John was correct.

Вопрос 5: Какое трехзначное квадратное число появится в списке чисел Фибоначчи первым, если первые 4 члена равны 0,1,1,2.

Решение:

With the use of the Fibonacci Sequence formula, we can easily calculate the rest of the terms:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…

As we can see the first three-digit number which is a square that appears on the list of Fibonacci numbers is 144(square of 12).