Формула комбинаций с примерами

Комбинация — это способ выбора элементов из набора элементов. В сочетании мы не смотрим на порядок выбора элементов, а основное внимание обращаем на общее количество выбранных элементов из заданного набора элементов. Например, предположим, что у нас есть три числа, скажем, a, b и c. Затем, сколькими способами мы можем выбрать два числа, называется комбинацией.

Разница между перестановками и комбинациями

Каждое расположение, которое может быть сделано из данного набора вещей, взяв некоторые или все из них одновременно, называется перестановками. Порядок, в котором выполняются аранжировки, важен в перестановке.

Каждая из групп или выборок (в любом порядке), которые могут быть сделаны из данного набора вещей, взяв некоторые или все из них одновременно, называются комбинациями. Порядок, в котором делается выбор, не важен в Комбинации.

Пример: Две буквы a и b вместе образуют одну группу (комбинацию), но они могут быть расположены двумя разными способами, как ab и ba , и, таким образом, всего имеется два сочетания (перестановки).

Опять же, если мы возьмем три буквы a, b и c, то число групп, принимающих по две буквы одновременно, равно трем, т. е. ab, bc и ca.

Но каждая группа порождает два различных расположения, следовательно, общее количество размещений = 6, т. е. ab, ba, bc, cb, ca и ac .

Далее, если мы возьмем четыре буквы а, b, с и d, то число комбинаций, которые можно составить, взяв за раз две буквы, будет шестью числами.

аб, ак, объявление, до н.э., бд, кд

А перестановок, которые можно произвести, беря по две буквы за раз, двенадцать.

ab, ba, ac, ca, объявление, da, bc, cb, bd, db, cd, dc

Прежде чем мы приступим к подробному изучению перестановок и комбинаций, введем обозначение n! читается как n факториал, что очень полезно при изучении и расчете перестановок и комбинаций.

Что такое факториал?

Непрерывное произведение первых n натуральных чисел (то есть произведение 1, 2, 3, …, n) обозначается символом n! и читается как факториал n.

Например, 5! = 1.2.3.4.5 = 120

В общем, н! = 1.2.3.4…..(n – 1).n

Примечание

1. Определяем 1! = 1 и 0! = 1
2. н! не определяется, когда n является отрицательным целым числом или дробью.

Комбинации

Различные группы, которые могут быть образованы путем выбора r вещей из заданного множества n различных вещей, не обращая внимания на порядок их расположения, называются комбинациями n вещей, взятых по r за один раз.

Количество всех таких комбинаций обозначается ⁿ C _r или C(n, r).

Пример: Все комбинации четырех различных объектов a, b, c, d, взятые по два одновременно, равны ab, ac, ad, bc, bd, cd . Здесь мы не включили ba, ca, da, cb, db и dc , поскольку порядок не меняет комбинацию. Таким образом, имеется 6 комбинаций из 4 различных объектов, взятых по 2 за раз, т. е. ⁴ C ₂ = 6

Точно так же все комбинации четырех различных объектов a, b, c и d, взятые по три одновременно, равны abc, bcd, cda, dab .

Таким образом, имеется четыре комбинации из 4 различных объектов, взятых по 3 за раз, т. е. ⁴ C ₃ = 4.

Каждой из этих комбинаций соответствует 3! перестановки, так как три предмета в каждой комбинации можно расположить между собой в 3! способы. Следовательно, количество перестановок

= ⁴ С ₃ × 3!

⁴ П ₃ = ⁴ С ₃ × 3!

4!/(4-3)! 3! = ⁴ С ₃

Таким образом, мы можем заключить, что общее количество перестановок n различных вещей, взятых за r за один раз, т. е. ⁿ P _r равно ⁿ C _r × r!

Следовательно, ⁿ P _r = ⁿ C _r × r! , 0 ≤ r ≤ n.

Отсюда следует, что ⁿ C _r = n! ⁄ р! (номер)!

Комбинированная формула

Количество комбинаций n различных вещей, взятых r за раз, определяется выражением

ⁿC_r = n! ⁄  r! (n-r)! ,0 < r ≤n

where,

• n is the size of the set from which elements are permuted
• r is the size of each permutation
• ! is factorial operator

Связь между формулой комбинации и формулой перестановки

Основное различие между комбинацией и перестановкой состоит только в том, что при перестановке мы также учитываем порядок выбора вещей, а в комбинации порядок выбора не имеет значения. И поэтому перестановок всегда больше, чем комбинации.

Теорема: ⁿ P _r = ⁿ C _r × r!

Доказательство:

Рассмотрим RHS, ⁿ C _r × r! =[ n!/ r!(nr)!]r!

=n!/(nr)! = ⁿ P _р

Следовательно, теорема доказана.

Примечания:

1. Имеем ⁿ C _r = n!/r!(nr)! В частности, если r = n, то ⁿ C _n = n! / п! = 1
2. ^п С ₀ = п! /0! (н-0)! = п!/0!п! = 1/0! = 1. Таким образом, формула ⁿ C _r = n!/r!(nr)! применимо и для r = 0. Следовательно, ⁿ C _r = n!/r!(nr)! , 0 ≤ г ≤ п
3. ^п С _р = п! / р! (номер)! = n(n-1)(n-2)……..(n-r+-1)(nr)(nr-1)…….3.2.1 / r! [(номер)(номер-1)…..3.2.1]. Следовательно, ⁿ C _r = n(n-1)(n-2)…….r факторов/ r!
4. ⁿ C _nr = n!/ (nr)![n-(nr)]! = п!/ (число)! р! = ⁿ C _р. Следовательно, ⁿ C _r = ⁿ C _nri , т. е. выбор r объектов аналогичен отклонению (nr) объектов.

Примеры вопросов

Вопрос 1: Оцените 4! – 3!

Решение:

4! – 3! = (4 × 3 × 2 × 1) – (3 × 2 × 1)

          = 24 – 6

          =18

Вопрос 2: Из класса из 30 учеников выбрать 4 для участия в конкурсе. Сколькими способами их можно выбрать?

Решение:

Total students = n = 30

Number of students to be chosen = r = 4

Hence, Total number of ways 4 students out of 30 can be chosen is,

                                              ³⁰C₄ = (30 × 29 × 28)/ (4 × 3 × 2 × 1)

                                                      = 24360/ 24

                                                      = 1015 ways

Вопрос 3: У Нитина 5 друзей. Сколькими способами он может пригласить одного или нескольких из них на свою вечеринку?

Решение:

Nitin may invite (i) one of them (ii) two of them (iii) three of them (iv) four of them (v) all of them 

and this can be doen in ⁵C₁, ⁵C₂, ⁵C₃, ⁵C₄, ⁵C₅ ways

Therefore, The total number of ways = ⁵C₁ +  ⁵C₂ + ⁵C₃ + ⁵C₄ +  ⁵C₅

                                                            = 5!/ (1! 4!) + 5!/ (2! 3!) + 5!/ (4! 1!) + 5!/ (5! 0!)

                                                            =  5 + 10 + 10 + 5 +1

                                                            = 31 ways

Вопрос 4: Найдите количество диагоналей, которые можно провести, соединив угловые точки восьмиугольника.

Решение:

A diagonal is made by joining any two angular points. 

There are 8 vertices or angular points in an octagon

Therefore, Number of straight lines formed = ⁸C₂ = 8!/ (2! 6!)
                                                                             = 8 ×7 / (2 × 1)

                                                                             = 56/ 2

                                                                             = 28

which also includes the 8 sides of the octagon

Therefore, Number of diagonal = 28 – sides of octagon

                                                   = 28 – 8

                                                   = 20 diagonals

Вопрос 5: Найдите количество способов выбрать 9 шаров из 6 красных, 5 белых и 7 синих шаров, если каждый выбор состоит из 3 шаров каждого цвета.

Решение:

Number of Red balls = 6

Number of white balls = 5

Number of Blue balls = 7

Total number of balls to be selected = 9

Hence, the required number of ways of selecting 9 balls from 6 red, 5 white, 7 blue balls consisting of 3 balls of each colour

                                 = ⁶C₃  × ⁵C₃ × ⁷C₃

                                            = 6!/ (3! 3!) × 5!/ (3! 2!) × 7!/ (3! 4!)

                                 = 20 × 10 × 35 

                                 = 7000 ways