Что такое распределительная собственность? - определение, формула, примеры

Распределительное свойство также называют распределительным законом умножения над сложением и вычитанием. Термин «распределение» относится к разделению, совместному использованию или передаче части чего-либо. Согласно распределительному свойству, умножение числа на сумму двух или более слагаемых эквивалентно умножению каждого слагаемого в отдельности на число и последующему объединению произведений вместе. Распределительное свойство применимо как к сложению, так и к вычитанию и помогает упростить сложные задачи.

Например, давайте решим (2 + 7 + 9 + 5) × 6 и (28 – 15) × 4 нормально, а также используя свойство дистрибутивности. Из результатов мы можем заметить, что результаты не изменились в случае сложения или вычитания, когда оно решалось нормально и когда оно решалось с использованием распределительного свойства.

Распределительное свойство умножения над сложением

Мы используем распределительный принцип умножения вместо сложения, когда нам нужно умножить число на сумму двух или более слагаемых. Например, давайте умножим 5 на сумму 9 + 25, что математически представляется как [5 × (9 + 25)].

Пример: Решите выражение [5 × (9 + 25)], используя распределительное свойство.

Решение:

To solve the given expression [5 × (9 + 25)] using the distributive property, first, we have to multiply both addends (9 and 25) by 7. This is called distributing the number between the two addends. Now, add the obtained products; i.e., the multiplication of 5 (9), and 5 (25) will be carried out before performing the addition. 5 × (9) + 5 × (25) = 45 + 125 = 170.

Распределительное свойство умножения над вычитанием

Мы используем распределительный принцип умножения вместо вычитания, когда нам нужно умножить разницу между двумя или более числами на число. Это похоже на распределительное свойство умножения над сложением, за исключением операции сложения и вычитания. Например, давайте умножим разницу между 45 и 21 на 3, что математически представляется как [3 × (45 – 21)].

Пример: Решите выражение [3 × (45 – 21)], используя распределительное свойство.

Решение:

To solve the given expression  [3 × (45 – 21)] using the distributive property, first, we have to multiply (45 and 21) by 3. This is called distributing the number between the two numbers. Now, subtract the obtained products; i.e., the multiplication of 3×(45), and 3×(21) will be carried out before performing the subtraction. 3 × (45) – 3 × (21) = 135 + 63 = 72.

Проверка Распределительного Свойства

Давайте попробуем обосновать, как дистрибутивное свойство функционирует для различных операций, применяя дистрибутивное свойство отдельно к двум фундаментальным операциям, сложению и вычитанию.

Распределительное свойство умножения над сложением: распределительное свойство сложения выражается как a × (b + c) = a × b + a × c. Теперь давайте проверим это на примере.

Пример: Решите выражение [2 × (19 + 6)], используя распределительное свойство.

Решение:

Given expression: [2 × (19 + 6)]

First, let us solve the given expression using the BODMAS rule, i.e., we have to add the numbers in brackets first, then the obtained result is multiplied by the number outside the brackets. 2 × (19 + 6) =  2 × (25) = 50.

Now, let us solve the given expression using the distributive property. 

2 × (19 + 6) = (2 × 19) + (2 × 6)

= 38 + 12 = 50.

 Thus, the result in both the methods is the same.

Распределительное свойство умножения над вычитанием: распределительное свойство вычитания выражается как a × (b – c) = (a × b) – (a × c). Теперь давайте проверим это на примере.

Пример: Решите выражение [4 × (23 – 7)], используя распределительное свойство.

Решение:

Given expression: [4 × (23 – 7)]

First, let us solve the given expression using the BODMAS rule, i.e., we have to subtract the numbers in brackets first, then the obtained result is multiplied by the number outside the brackets. 4 × (23 – 7) =  4× (16) = 64.

Now, let us solve the given expression using the distributive property. 

4 × (23 – 7) = (4 × 23) – (4 × 7)

= 92 – 28 = 64.

Hence, the result in both the methods is the same.

Распределительное имущество подразделения

Распределительное свойство помогает легко делить большие числа, разбивая число на два или более меньших множителя, а затем распределяя операцию деления между ними. Давайте разберемся с этой концепцией на примере.

Пример: Разделите 76 ÷ 4, используя распределительное свойство деления.

Решение:

Given expression: 76 ÷ 4

We can write 76 as 64 + 12

So, 76 ÷ 4 = (64 + 12) ÷ 4

Now, let us distribute the division operation for each factor (64 and 12) in the bracket.

= (64 ÷ 4) + (12 ÷ 4)

= 16 + 3 = 19

Therefore, the answer is 19.

Примеры проблем

Задача 1: Решите уравнение 5 (y + 8) = 120, используя распределительное свойство.

Решение:

Given, 5 (y + 8) = 120

We have a set of two parentheses inside the bracket. So, distribute 5.

5 × y + 5 × 8 = 120

5y + 40 = 120

5y = 120 – 40 = 80

y = 80/5 = 16

Hence, y = 16.

Задача 2. Решите 3x + 4(x – 6) + 17 = 28, используя свойство распределения.

Решение:

Given, 3x + 4(x – 6) + 17 = 28

We have a set of two parentheses inside the bracket. So, distribute 4.

3x + 4 × x – 4 × 6 + 17 = 28

3x + 4x – 24 + 17 = 28

7x – 7 = 28

7x = 28 + 7 = 35

x = 35/7 = 5

Hence, x = 5.

Задача 3: Решите уравнение (a + 3b) (2a + b), используя распределительное свойство.

Решение:

Given, (a + 3b) (2a + b)

From the distributive property, we have

(p + q) × r=(p × r)+(q × r)      

So, (a + 3b) (2a + b) =  a × (2a + b) + 3b × (2a + b)

= 2a² + ab + 6ab + 3b²

= 2a² + 7ab + 3b²

Thus, (a + 3b) (2a + b) = 2a² + 7ab + 3b².

Задача 4. Решите уравнение (3x – 2y) (x + 4y), используя распределительное свойство.

Решение:

Given, (3x – 2y) (x + 4y)

From the distributive property, we have

(p + q) × r=(p × r)+(q × r)      

So, (3x – 2y) (x + 4y)=  3x × (x + 4y) – 2y × (x + 4y)

= 3x² + 12xy – 2xy – 8y²

= 3x² + 10xy – 8y²

Thus, (3x – 2y) (x + 4y) = 3x² + 10xy – 8y².

Задача 5: Разделите 108 ÷ 9, используя распределительное свойство деления.

Решение:

Given expression: 108 ÷ 9

We can write 108 as 81 + 27

So, 108 ÷ 9 = (81 + 27) ÷ 9

Now, let us distribute the division operation for each factor (64 and 12) in the bracket.

= (81 ÷ 9) + (27 ÷ 9)

= 9 + 3 = 12

Therefore, the answer is 12.