Что такое n-й член?

Перед арифметической прогрессией мы должны знать о последовательностях и сериях. Последовательность — это в основном шаблон, или мы можем сказать, что расположение чисел с определенной разницей между ними. Помимо разницы, может существовать определенный закон или формула для нахождения этого элемента. т.е. 1 , 3 , 5 , 7 … .. В этой последовательности вы увидите определенный шаблон или вы можете произнести формулу, чтобы получить эти последовательности. Его стандартная формула будет 2n-1. здесь n∈ Натуральное число. . если мы присвоим значение n, то получим нашу последовательность. Теперь перейдем к серии. Серия — это не что иное, как просто выражение последовательностей. Члены последовательности, соединенные знаком + или –, образуют серию. т.е. 1+ 3+ 5 +7 +…..

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность шаблона чисел, где каждый член последовательности имеет общую разницу между ними, Эта разница всегда постоянна для всех членов. Эта постоянная разница обозначается d.

давайте предположим, что AP a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ …….

Общее представление AP: a, a+d, a+2d, a+3d,…………

здесь a = a ₁ = первый член AP и d = общая разность. который легко вычисляется путем вычитания любого члена с его предыдущим членом. т.е. d = а ₂ – а ₁ или а ₄ – а ₃

Общий срок действия AP (n-й срок действия AP)

N-й член AP называется его общим термином. N-й член может быть натуральным числом, n-й член является последним членом любой последовательности или арифметической прогрессии. N-й член АП вычисляется по формуле

a_n = a + (n – 1)d

here,

a_n = nth  term of an A.P. 

a = first term 

n = No. of term 

d = common difference. 

N-й член AP с конца

Мы также можем найти n-й член с конца AP. Предположим, AP, где первый член равен a, а d является общей разностью, содержащей m членов. Таким образом, n-й член с конца — это (m-n+1)-й член с начала. Итак, мы можем сказать , что _m-n+1 = a + (m – n)d — это n-й член от последнего.

Примеры проблем

Проблема 1: Проверить, является ли прогрессия 11, 10, 9, 8, 5…. является АП или нет. Если AP найти общий термин

Решение:

The  given progression is 11, 10, 9, 8, 5….

Now, we have to check that d is constant for all term or not.. if it’s vary then it is not an A.P. 

d = a₂ – a₁ =  10- 11 = -1   and  d = a₅ – a₄ = 5 – 8 = -3

Common difference is not same for all .so, it’s not an A.P. 

Задача 2: Какой член AP 11, 17, 23, …….. равен 551.

Решение:

Here, a = 11 , d = 17 – 11 =  6 

a_n = 551

a_n = a+(n-1)d = 551 

11 +(n-1)6 = 551

11 + 6n – 6 = 551 

6n = 546 

n = 91 

Задача 3: Является ли 50 членом последовательности 3, 7, 11, ………

Решение:

let us assume 50 is nth term of this sequence or an A.P.

a_n = 50 

here, a = 3 , d = 4 

a_n = a+ (n-1) d

50 = 3 + (n-1)4 

50 = 3 + 4n – 4 

51 = 4n 

12.7 = n 

n must be an natural number. Because a term is finite number.

Hence. 50 is not a term of this sequence.

Задача 4: Определить количество членов в прогрессии 3, 7, 11, ……., 407. Кроме того, найдите его 10-й член с конца.

Решение:

A.P.: 3 , 7 , 11 , ………, 407

here, a = 3 , d= 4  and an = 407

an = a+ (n-1)d 

407 = 3 + (n-1)4

407 = 3 + 4n -4 

 408 = 4n 

102 = n 

Now, it’s 10th term form the end is a_{102-10 + 1} = a₉₃

10th term from the end = 3 + 92(3) = 3 + 276 = 279

Задача 5: Для АП n-1, n- 2, n – 3, …….. найти _m .

Решение:

A.P n-1, n-2, n-3, ……….

Here, a = n-1 , d  = n-2 -(n-1) = -1

a_m = a+(m-1)d

a_m = n-1 +(m-1)(-1) 

a_m = n-1- m + 1 

a_{m = n – m} 

Задача 6: Какой член в АП 5, 2, -1, ……… равен – 22?

Решение:

A.P. 5, 2, -1 ,………..

here, a= 5 , d =-3 

Now, we have to check – 22 is it’s term or not . 

a_n = a+ (n-1)d 

a_n = 5 + (n – 1)(-3)

-22 = 8 -3n 

40 = 3n 

n is not a finite no. so, it’ s not a term of this A.P.

Задача 7: Показать, что последовательность 7, 2, -3,………. является AP Найдите общий термин.

Решение:

let sequence 7, 2, -3 ……..

 if it’s an A.P. then d is constant for all

d = a₃ -a₂ = -3 -2 = -5 

d = a₂ – a₁ = 2-7 = -5 

Hence, it is an A.P 

General term of an A.P. is a_n 

a_n = a + (n-1)d 

a_n = 7 + (n-1) (-5) 

a_n = 7 + -5n + 5 

 a_{n =} 12- 5n