Целые числа

Целые числа определяются как натуральные числа на числовой прямой, включая ноль. Комплексные числа состоят из двух частей; они действительные и мнимые числа. Целые числа являются частью действительных чисел, за исключением десятичных чисел, дробей и отрицательных чисел. Числа, образующиеся от 0 до бесконечности, являются целыми числами. Давайте подробно узнаем о целых числах вместе с примерами.

Что такое целые числа?

Целые числа — это натуральные числа, начинающиеся с 0. Числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и (т. д.) — это целые числа. Можно сказать, что целое число — это набор чисел без дробей, десятичных знаков и отрицательных чисел. Это набор только положительных чисел, включая 0. Наименьшее число среди целых чисел — 0. Целые числа являются частью действительных чисел, как и натуральные числа. Однако разница между целыми числами и натуральными числами заключается в том, что целые числа содержат все натуральные числа и 0. Это считается основным различием между счетными числами и целыми числами. 0 исключается при подсчете чисел.

Определение целого числа

В математике целые числа определяются как множество натуральных чисел, включая 0. Если множество натуральных чисел представлено как N, то N = {1, 2, 3, 4, …}, а если множество целых чисел равно представлены как W, то целые числа в наборах будут W = {0, 1, 2, 3, 4, …}. Целые числа представляют собой набор как положительных, так и отрицательных чисел, но целые числа представляют собой только положительный набор, включая 0. Ниже приведены некоторые моменты, которые следует учитывать в отношении целых чисел.

• Все целые числа относятся к действительным числам.
• Все натуральные числа являются целыми числами, но не наоборот.
• Все положительные целые числа, включая 0, являются целыми числами.

Наименьшее целое число

0 — наименьшее целое число. Определение целого числа гласит, что целое число образуется от 0 до ∞. Таким образом, 0 становится наименьшим целым числом, которое существует. 0 не является ни положительным, ни отрицательным; он используется в качестве заполнителя.

Символ целого числа

Символ, представляющий целое число, — «W», W — это набор для целых чисел, а значения в наборе — это положительные целые числа, включая 0. W = {0, 1, 2, 3,…}.

Целые числа на числовой строке

Целые числа на числовой прямой можно легко наблюдать, поскольку числовая строка в общем случае представляет целые числа от -∞ до +∞, а целые числа представляют собой положительные целые числа, включая 0. Глядя на числовую строку, можно заметить, что все целые числа, лежащие справа от 0, включая 0, являются целыми числами, а целые числа, лежащие справа от 0, за исключением 0, являются натуральными числами. Это визуальное представление — лучший способ сделать вывод, что все натуральные числа являются целыми числами, а не наоборот.

Натуральные числа и целые числа

Теперь нам известны натуральные числа и целые числа. Из приведенной выше числовой строки легко заметить, что все натуральные числа являются целыми числами, множество натуральных чисел является подмножеством целых чисел, и, следовательно, множество целых чисел W является правильным надмножеством множества натуральных чисел. N. На приведенной ниже диаграмме показано, как набор натуральных чисел, целых чисел, целых чисел, рациональных чисел связан друг с другом.

Разница между натуральными числами и целыми числами

Ниже приведена таблица, которая содержит разницу между натуральными числами и целыми числами,

Свойства целых чисел

Основные операции, выполняемые в математике, приводят к свойствам целых чисел, то есть к свойствам, основанным на сложении, вычитании, умножении и делении. К основным свойствам целых чисел относятся:

• Свойство закрытия
• Коммутативное свойство
• Ассоциативное свойство
• Распределительное свойство

Свойство закрытия

В этом свойстве, если x и y — целые числа, то x + y — целое число, и xy — тоже целое число. Утверждение свойства замыкания состоит в том, что сумма и произведение двух целых чисел всегда будет целым числом.

x + y = W

x × y = W

Например: Докажите свойство замыкания для 2 и 5.

2 is a whole number, and 5 is a whole number. To prove the closure property, add and multiply 2 and 5.

2 + 5 = 7 (Whole number).

2 × 5 = 10 (Whole number).

Коммутативное свойство сложения

В коммутативном свойстве сложения сумма любых двух целых чисел одинакова. т.е. порядок добавления не имеет значения. т.е.,

x + y = y + x

Например: Докажите коммутативность сложения 5 и 8.

According to the commutative property of addition:

x + y = y + x

5 + 8 = 13

8 + 5 = 13

Therefore, 5 + 8 = 8 + 5

Коммутативное свойство умножения

В коммутативном свойстве умножения умножение любых двух целых чисел одинаково. т. е. любое число можно умножать в любом порядке. т.е.,

x × y = y × x

Например: Докажите свойство перестановочности умножения 9 и 0.

According to the commutative property of multiplication:

x + y = y + x

9 × 0 = 0

0 × 9 = 0

Therefore, 9 × 0 = 0 × 9

Аддитивная идентичность

В аддитивном свойстве, когда мы добавляем значение с нулем, значение целого числа остается неизменным. т.е.,

x + 0 = x

Например: Докажите аддитивность числа 7.

According to additive property:

x + 0 = x

7 + 0 = 7

Hence, proved.

Мультипликативная идентичность

В мультипликативном свойстве, когда мы умножаем значение на 1, значение целого числа остается неизменным. т.е.,

x × 1 = x

Например: Докажите свойство мультипликативности числа 13.

According to multiplicative property:

x × 1 = x

13 × 1 = 13

Hence, proved.

Ассоциативное свойство

В ассоциативном свойстве при сложении и умножении числа и сгруппированных вместе в любом порядке значение результата остается прежним. т.е.,

 x + (y + z) = (x + y) + z 

And 

x × (y × z) = (x × y) ×  z

Например: Докажите ассоциативность умножения целых чисел 10, 2 и 5.

According to the associative property of multiplication:

x × (y × z) = (x × y) ×  z

10 × (2 × 5) = (10 × 2) × 5

10 × 10 = 20 × 5

100 = 100

Hence, Proved.

Распределительное свойство

В распределительном свойстве При умножении числа и распределении их в любом порядке значение результата остается прежним. т.е.,

x × (y + z) = (x × y) + (x × z)

Например: Докажите свойство распределения для чисел 3, 6 и 8.

According to the distributive property:

x × (y + z) = (x × y) + (x × z)

3 × (6 + 8) = (3 × 6) + (3 × 8)

3 × (14) = 18 + 24

42 = 42

Hence, Proved.

Статьи по Теме

• Natural Numbers
• Real Numbers
• Rational Numbers

Решенные примеры для целых чисел

Пример 1. Являются ли числа 100, 399 и 457 целыми числами?

Отвечать:

Yes, the numbers 100, 399, 457 are the whole numbers.

Пример 2: Решите уравнение 15 × (10 + 5), используя распределительное свойство.

Отвечать:

We know that distributive property are:

 x × (y + z) = x × y + x × z. 

So, 15 × 10 + 15 × 5 = 150 + 75 

= 225.

Пример 3. Докажите ассоциативность умножения целых чисел 1, 0 и 93.

Решение:

According to the associative property of multiplication:

x × (y × z) = (x × y) ×  z

1 × (0 × 93) = (1 × 0) × 93

1 × 0 = 0 × 93

0 = 0

Hence, Proved.

Пример 4: Запишите число, не принадлежащее к целым числам:

4, 0, -99, 11,2, 45, 87,7, 53/4, 32.

Отвечать:

Out of the numbers mentioned above, it can easily be observed that 4, 0, 45, and 32 belong to whole numbers. Therefore, the numbers that do not belong to whole numbers are -99, 11.2, 87.7, and 53/4.

Пример 5: Запишите 3 целых числа, встречающихся непосредственно перед 10001.

Отвечать:

If the sequence of whole numbers are noticed, it can be observed that the whole numbers have a difference of 1 between any 2 numbers. Therefore, the whole numbers before 10001 will be: 10000, 9999, 9998.

Пример 6: Каково среднее значение первых пяти целых чисел?

Отвечать:

The mean of the first five whole numbers is:

First five whole numbers = 0, 1, 2, 3, 4

Mean of first five whole numbers = (0 + 1 + 2 + 3 + 4)/5

= 10/5

= 2

Therefore, the mean of the first five whole numbers is 2.

Часто задаваемые вопросы о целых числах

Вопрос 1: Может ли целое число быть отрицательным?

Отвечать:

No, a whole number can never be negative as the set of whole numbers “W” is represented as:

W = {0, 1, 2, 3, …}

Therefore, whole numbers do not contain negative numbers.

Вопрос 2: Все ли целые числа целые?

Отвечать:

Yes, all whole numbers are integers but not vice-versa. Integers contain negative numbers and negative numbers are not a part of whole numbers.

Вопрос 3: Какие символы используются для представления набора натуральных чисел и целых чисел?

Отвечать:

“W” is the symbol for the set of whole numbers, and “N” is the symbol for the set of natural numbers.

Вопрос 4: Как умножать дроби на целые числа?

Отвечать:

Since whole numbers, if required to be represented in the form of a fraction, can be represented with 1 in the denominator. When a fraction is required to be multiplied by a whole number, simply multiply the numerator with the numerator and the denominator with the denominator. 

For example 6 × 30/76

6/1 × 30/76

(6 × 30)/(1 × 76)

180/76 = 90/38 = 45/19

Вопрос 5: 1 — наименьшее целое число. Правда или ложь?

Отвечать:

False. The smallest whole number is 0 as the whole number generates from 0 and terminates at ∞. Therefore, 1 is not the smallest whole number.

Вопрос 6: Каждое целое число является целым числом. Является ли утверждение верным или ложным?

Отвечать:

The statement is False. Every integer is not a whole number; negative numbers are not a part of whole numbers. Therefore, every integer is not a whole number.

Вопрос 7: Какое самое большое целое число?

Отвечать:

Whole numbers generate from 0 and go up to infinity. Therefore, this question cannot be answered as every largest whole number that we can think of will have a successor, and the list goes up to infinity. Therefore, it is undecidable.