Законы логарифмов

Логарифм — это показатель степени или степень, в которую возводят основание, чтобы получить определенное число. Например, «а» — это логарифм «m» по основанию «x», если x ^m = a, то мы можем записать это как m = log _x a. Логарифмы изобретены, чтобы ускорить расчеты, и время будет сокращено, когда мы умножаем много цифр, используя логарифмы. Теперь давайте обсудим законы логарифмов ниже.

Законы логарифмов

Есть три закона логарифмов, которые выводятся с использованием основных правил возведения в степень. Законами являются закон правила продукта, закон правила частного, закон правила мощности. Рассмотрим подробнее законы.

Первый закон логарифма или закон правила произведения

Пусть a = x ⁿ и b = x ^m , где основание x должно быть больше нуля и x не равно нулю. т. е. x > 0 и x ≠ 0. отсюда мы можем записать их как

n = log _x a и m = log _x b ⇢ (1)

Используя первый закон показателей, мы знаем, что x ⁿ × x ^m = x ^{n + m} ⇢ (2)

Теперь мы умножаем a и b, мы получаем это как,

аб = х ^п × х ^м

ab = x ^{n + m} (из уравнения 2)

Теперь применим логарифм к приведенному выше уравнению, мы получаем, как показано ниже,

журнал _х аб = n + m

Из уравнения 1 мы можем записать как log _x ab = log _x a + log _x b

Итак, если мы хотим умножить два числа и найти логарифм произведения, то складываем отдельные логарифмы двух чисел. Это первый закон логарифмов/правил произведения.

log_xab = log_xa + log_xb

Мы можем применить этот закон для более чем двух чисел, т.е.

log_xabc = log_xa + log_xb + log_xc.

Второй закон логарифма или закон частного правила

Пусть a = x ⁿ и b = x ^m , где основание x должно быть больше нуля и x не равно нулю. т. е. x > 0 и x ≠ 0. Отсюда мы можем записать их как

n = log _x a и m = log _x b ⇢ (1)

Используя первый закон показателей, мы знаем, что x ⁿ / x ^m = x ^{n – m} ⇢ (2)

Теперь мы умножаем a и b, мы получаем это как,

а/б = х ^н / х ^м

a/b = x ^{n – m} ⇢ (Из уравнения 2)

Теперь применим логарифм к приведенному выше уравнению, мы получаем, как показано ниже,

log _x (a/b) = n – m

Из уравнения 1 мы можем записать как log _x (a/b) = log _x a – log _x b

Итак, если мы хотим разделить два числа и найти логарифм деления, то мы можем вычесть отдельные логарифмы двух чисел. Это второй закон логарифмов / частный закон правила.

log_x(a/b) = log_xa – log_xb

Третий закон логарифма или степенной закон

Пусть a = ^xn ⇢ (i),

Где база x должна быть больше нуля, а x не равен нулю. т. е. x > 0 и x ≠ 0. Отсюда мы можем записать их как

n = log _x a ⇢ (1)

Если мы возведем обе части уравнения (i) в степень «m», то получим следующее:

и ^m = (x ⁿ ) ^m = x ^нм

Пусть a ^m будет одной величиной, и тогда примените логарифм к приведенному выше уравнению,

лог _х а ^м = нм

log_xa^m = m.log_xa

Это третий закон логарифмов. В нем говорится, что логарифм числа в степени может быть получен путем умножения логарифма числа на это число.

Примеры проблем

Проблема 1: Разверните журнал 21.

Решение:

As we know that log_xab = log_xa + log_xb (From first law of logarithm)

So, log 21 = log (3 × 7) 

= log 3 + log 7

Проблема 2: Разверните журнал (125/64).

Решение:

As we know that log_x(a/b) = log_xa – log_xb (From second law of logarithm)

So, log (125/64) = log 125 – log 64

= log 5³ – log 4³

log_xa^m = m.log_xa (From third law of logarithm), we can write it as,

= 3 log 5 – 3 log 4

= 3(log 5 – log 4)

Задача 3: Запишите 3log 2 + 5 log3 – 5log 2 в виде одинарного логарифма.

Решение:

3log 2 + 5 log3 – 5log 2

= log 2³ + log 3⁵ – log 2⁵

= log 8 + log 243 – log 32

= log(8 × 243) – log 32

= log 1944 – log 32

= log (1944/32)

Задача 4: Запишите логарифм 16 – логарифм 2 в виде одинарного логарифма.

Решение:

log(16/2)

= log(8)

= log(2³)

= 3 log 2

Задача 5: записать 3 log 4 в виде одинарного логарифма

Решение:

From the power rule law, we can write it as,

= log 4³

= log 64

Задача 6: Запишите 2 log 3– 3 log 2 в виде одинарного логарифма.

Решение:

log 3² – log 2³ 

= log 9 – log 8 

= log (9/8)

Задача 7: записать log 243 + log 1 в виде одинарного логарифма

Решение:

log (243 × 1) 

= log 243