Треугольники
Треугольник — это простейшая форма многоугольника. Слово «Три» означает три и, следовательно, фигура с 3 углами является треугольником, и она образована с помощью пересекающихся друг с другом отрезков из трех прямых, треугольник имеет 3 вершины, 3 ребра и 3 угла. Форма треугольника очень полезна и в реальной жизни, например, в плотницком деле, астрономии, уличных вывесках и т. д.
Определение треугольника
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами и тремя углами. Обозначается символом △. В треугольнике вершиной называется любое двустороннее соединение. Треугольник имеет три вершины. Это одна из основных фигур, используемых в математике. Существуют различные свойства треугольника, которые обсуждаются ниже.
Углы в треугольнике
Треугольник имеет три угла, угол образуется, когда две стороны треугольника встречаются в общей точке, эта общая точка известна как вершина. Сумма трех внутренних углов равна 180 градусов.
Когда стороны расширены наружу в треугольнике, тогда он образует три внешних угла. Сумма пары внутренних и внешних углов треугольника всегда является дополнительной. Кроме того, сумма всех трех внешних углов треугольника равна 360 градусов.
Свойства треугольника
- Свойство суммы углов: сумма всех трех внутренних углов всегда равна 180°. Следовательно. В треугольнике ΔABC, показанном выше, ∠A+ ∠B+ ∠C= 180°, внутренние углы треугольника будут больше 0° и меньше 180°.
- Треугольник имеет 3 стороны, 3 вершины и 3 угла.
- Свойство внешнего угла: внешний угол треугольника равен сумме внутренних противоположных и несмежных углов (также называемых удаленными внутренними углами). В показанном выше ΔABC, ∠ACD= ∠ABC+ ∠BAC
- Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Например, AB+BC>AC или BC+AC>AB.
- Сторона, лежащая против наибольшего угла, является наибольшей стороной треугольника. Например, в прямоугольном треугольнике сторона, противоположная 90°, является наибольшей стороной.
- Периметр фигуры определяется общей длиной, которую покрывает фигура. Следовательно, периметр треугольника равен сумме длин всех трех сторон треугольника. Периметр ΔABC= (AB + BC + AC)
- Разность длин любых двух сторон всегда меньше длины третьей стороны. Например, AB-BC< AC или BC-AC< AB
- Для подобных треугольников углы двух треугольников должны быть конгруэнтны друг другу, а соответствующие стороны должны быть пропорциональны.
- Площадь треугольника: 1/2 × основание × высота
Формулы треугольника
В геометрии для каждой двумерной формы (двумерной формы) всегда есть два основных измерения, которые нам нужно найти, т. е. площадь и периметр этой формы. Следовательно, у треугольника есть две основные формулы, которые помогают нам определить его площадь и периметр. Остановимся на формулах подробнее.
Периметр треугольника
Периметр треугольника определяется как сумма всех трех сторон треугольника. Предположим, что дан треугольник со сторонами a, b и c, тогда его периметр равен
Perimeter of triangle = a + b + c
Площадь треугольника
Площадь треугольника – это общая площадь, покрытая границей треугольника. Он равен половине произведения его основания и высоты. Площадь треугольника измеряется в квадратных единицах. Если основание треугольника равно b , а его высота равна h , то его площадь равна
Area of Δ = 1/2 × b × h
Площадь треугольника по формуле Герона
Когда три стороны треугольника известны, но его высота неизвестна, его площадь рассчитывается с использованием формулы Герона. Предположим, что задан треугольник со сторонами a, b и c, тогда его площадь вычисляется с использованием шагов, описанных ниже.
Шаги, чтобы найти площадь, используя формулу Герона
Шаг 1: Отметьте все размеры данного треугольника.
Шаг 2: Рассчитайте полупериметр (s) по формуле s = (a+b+c) / 2
Шаг 3: Используйте формулу для нахождения площади Площадь;
A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
where,
a,b, and c are the sides of a triangle
Типы треугольников
Классификация треугольников производится на основе следующих признаков:
- Типы треугольников по сторонам
- Типы треугольников на основе углов
Типы треугольников по сторонам
По сторонам треугольники делятся на
- Неравносторонний треугольник
- Равнобедренный треугольник
- Равносторонний треугольник
Равносторонний треугольник
В равностороннем треугольнике все три стороны равны между собой, как и все три внутренних угла равностороннего треугольника.
Поскольку все внутренние углы равны, а сумма всех внутренних углов треугольника равна 180° (одно из свойств треугольника). Мы можем вычислить отдельные углы равностороннего треугольника.
∠А+ ∠В+ ∠С = 180°
∠А = ∠В = ∠С
Следовательно, 3∠A = 180°
∠А= 180/3 = 60°
Следовательно, ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
Свойства равностороннего треугольника
- Все стороны равны.
- Все углы равны и равны 60°
- В равностороннем треугольнике существуют три оси симметрии
- Биссектриса угла, высота, медиана и перпендикулярная линия одинаковы, и здесь это AE.
- Ортоцентр и центр тяжести совпадают.
Формулы равностороннего треугольника
Основные формулы равносторонних треугольников:
- Area of Equilateral Triangle = √3/4 × a2
- Perimeter of Equilateral Triangle = 3a
where,
a is the side of triangle
Равнобедренный треугольник
В равнобедренном треугольнике две стороны равны и два угла, прилежащие к сторонам, также равны. Можно сказать, что любые две стороны всегда конгруэнтны. Площадь равнобедренного треугольника рассчитывается по формуле площади треугольника, как обсуждалось выше.
Свойства равнобедренного треугольника
- Две стороны равнобедренного треугольника всегда равны
- Третья сторона называется основанием треугольника, а высота рассчитывается от основания до противоположной вершины.
- Противоположные углы, соответствующие двум равным сторонам, также равны друг другу.
Неравносторонний треугольник
В разностороннем треугольнике все стороны и все углы не равны. Представьте, что вы наугад рисуете треугольник, и ни одна из его сторон не равна, все углы тоже отличаются друг от друга.
Свойства неравностороннего треугольника
- Ни одна из сторон не равна друг другу.
- Все внутренние углы разностороннего треугольника различны.
- Линии симметрии не существует.
- Точки симметрии не видно.
- Внутренние углы могут быть острыми, тупыми или прямыми по своей природе (это классификация, основанная на углах).
- Наименьшая сторона лежит против наименьшего угла, а наибольшая сторона лежит против наибольшего угла (общее свойство).
Типы треугольников на основе углов
В зависимости от углов треугольники делятся на
- Остроугольный треугольник
- Тупоугольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
Остроугольный треугольник
В остроугольных треугольниках все углы больше 0° и меньше 90°. Таким образом, можно сказать, что все 3 угла по своей природе острые (углы меньше 90°).
Свойства остроугольных треугольников
- Все внутренние углы всегда меньше 90° при разных длинах сторон.
- Линия, идущая от основания к противоположной вершине, всегда перпендикулярна.
Тупоугольный треугольник
В тупоугольном треугольнике одна из трех сторон всегда будет больше 90°, а поскольку сумма всех трех сторон равна 180°, остальные две стороны будут меньше 90° (свойство суммы углов).
Свойства тупоугольного треугольника
- Один из трех углов всегда больше 90°.
- Сумма оставшихся двух углов всегда меньше 90° (свойство суммы углов).
- Окружность и ортоцентр тупого угла лежат вне треугольника.
- Incenter и центр тяжести лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник
Когда один из углов треугольника равен ровно 90°, такой треугольник называется прямоугольным треугольником.
Свойства прямоугольного треугольника
- Прямоугольный треугольник должен иметь один угол, точно равный 90°, он может быть разносторонним или равнобедренным, но поскольку один угол должен быть равен 90°, следовательно, он никогда не может быть равносторонним треугольником.
- Сторона, противоположная 90°, называется гипотенузой.
- Стороны, примыкающие к 90°, являются основанием и перпендикулярны.
- Теорема Пифагора: это особое свойство прямоугольных треугольников. В нем говорится, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов основания и перпендикуляра, то есть AC 2 = AB 2 + BC 2
Решенные примеры на треугольниках
Пример 1: В треугольнике. ∠ACD = 120° и ∠ABC = 60°. Найдите тип треугольника.
Решение:
In the above figure, we can say, ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC (Exterior angle Property)
120° = 60° + ∠BAC
∠BAC = 60°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠C OR ∠ACB = 60°
Since all the three angles are 60°, the triangle is an Equilateral Triangle.
Пример 2: Даны треугольники со сторонами 5 см, 5 см и 6 см. Найдите площадь и периметр треугольника.
Решение:
Given, the sides of a triangle are 5 cm, 5 cm, and 6 cm
Perimeter of the triangle = (5 + 5 + 6) = 16 cm
Semi Perimeter = 16 / 2 = 8 cm
Area of triangle = √s(s – a)(s – b)(s – c) (Using Heron’s Formula)
= √8(8 – 5)(8 – 5)(8 – 6)
= √144 = 12 cm2
Пример 3: В прямоугольном треугольнике ∠ACB = 60°, а длина основания равна 4 см. Найдите площадь треугольника.
Решение:
Using trigonometric formula of tan60°,
tan60° = AB / BC = AB /4
AB = 4√3cm
Area of Triangle ABC = 1/2
= 1/2 × 4 × 4√3
= 8√3 cm2
Пример 4: В ΔABC, если ∠A+ ∠B = 55°. ∠B + ∠C = 150°, Найдите угол B отдельно.
Решение:
Angle Sum Property of a Triangle says ∠A+ ∠B+ ∠C= 180°
Given:
∠A+ ∠B = 55°
∠B+ ∠C = 150°Adding the above 2 equations,
∠A+ ∠B+ ∠B+ ∠C= 205°
180°+ ∠B= 205°∠B = 25°
Часто задаваемые вопросы о треугольниках
Вопрос 1: Что такое треугольник?
Отвечать:
A triangle is a polygon, with three sides and three vertices. A triangle also has three angles and the sum of all three angles of the triangle is 180 degrees.
Вопрос 2: Каковы основные формулы треугольника?
Отвечать:
The main triangle formulas are,
Area of triangle
A = [(½) b × h]
where ‘b’ is the base and ‘h’ is the height of the triangle.
Perimeter of a triangle
P = (a + b + c)
where ‘a’, ‘b’, and ‘c’ are the sides of the triangle.
Вопрос 3: Каковы шесть основных типов треугольников?
Отвечать:
The six basic types of triangles are:
- Acute angle triangles
- Obtuse angle triangles
- Right angle triangles
- Scalene Triangles
- Isosceles triangles
- Equilateral triangles
Вопрос 4: Каковы свойства треугольников?
Отвечать:
Some of the important properties of triangles are:
- Sum of all three angles of the triangle is equal to 180 degrees.
- Equal angles have equal sides opposite them.
- Sum of the length of any two sides of a triangle is always greater than the third side.
Вопрос 5: Всегда ли равнобедренный треугольник остроугольный?
Отвечать:
No, an isosceles triangle is not always an acute angle triangle it can be an acute angle, right angle, or obtuse-angled triangle depending upon the value of the angles of a triangle.
Вопрос 6: В чем разница между разносторонними, равнобедренными и равносторонними треугольниками?
Отвечать:
On the basis of sides triangles are of three types:
- Scalene Triangle: A triangle with all three sides unequal is called a Scalene triangle.
- Isosceles Triangle: A triangle in which any two sides are equal is an Isosceles triangle.
- Equilateral Triangle: A triangle with all three sides equal is called an Equilateral triangle.
Вопрос 7: В чем разница между остроугольным треугольником, тупоугольным треугольником и прямоугольным треугольником?
Отвечать:
On the basis of angles triangles are of three types:
- Acute Angle Triangle: A triangle with all three angles as acute angles is called an acute angle triangle.
- Obtuse Angle Triangle: A triangle with any one angle as an obtuse angle is called an obtuse angle triangle.
- Right Angle Triangle: A triangle with any one angle as a right angle is called a right angle triangle.
Вопрос 8: Объясните, почему прямоугольный треугольник никогда не может быть равносторонним треугольником.
Отвечать:
A Right angled triangle is one with any one of its angles equal to 90°, and other angles are less than 90°. Whereas in an equilateral triangle, all the interior angles are equal and are equal to 60° thus, it can never be possible in a right-angle triangle. So a right-angle triangle can never be an equilateral triangle.
Связанные ресурсы
- Rhombus
- Pythagoras Theorem
- Height and Distances