Треугольники

Треугольник — это простейшая форма многоугольника. Слово «Три» означает три и, следовательно, фигура с 3 углами является треугольником, и она образована с помощью пересекающихся друг с другом отрезков из трех прямых, треугольник имеет 3 вершины, 3 ребра и 3 угла. Форма треугольника очень полезна и в реальной жизни, например, в плотницком деле, астрономии, уличных вывесках и т. д.

Определение треугольника

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами и тремя углами. Обозначается символом △. В треугольнике вершиной называется любое двустороннее соединение. Треугольник имеет три вершины. Это одна из основных фигур, используемых в математике. Существуют различные свойства треугольника, которые обсуждаются ниже.

Углы в треугольнике

Треугольник имеет три угла, угол образуется, когда две стороны треугольника встречаются в общей точке, эта общая точка известна как вершина. Сумма трех внутренних углов равна 180 градусов.

Когда стороны расширены наружу в треугольнике, тогда он образует три внешних угла. Сумма пары внутренних и внешних углов треугольника всегда является дополнительной. Кроме того, сумма всех трех внешних углов треугольника равна 360 градусов.

Свойства треугольника

• Свойство суммы углов: сумма всех трех внутренних углов всегда равна 180°. Следовательно. В треугольнике ΔABC, показанном выше, ∠A+ ∠B+ ∠C= 180°, внутренние углы треугольника будут больше 0° и меньше 180°.
• Треугольник имеет 3 стороны, 3 вершины и 3 угла.
• Свойство внешнего угла: внешний угол треугольника равен сумме внутренних противоположных и несмежных углов (также называемых удаленными внутренними углами). В показанном выше ΔABC, ∠ACD= ∠ABC+ ∠BAC
• Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Например, AB+BC>AC или BC+AC>AB.
• Сторона, лежащая против наибольшего угла, является наибольшей стороной треугольника. Например, в прямоугольном треугольнике сторона, противоположная 90°, является наибольшей стороной.
• Периметр фигуры определяется общей длиной, которую покрывает фигура. Следовательно, периметр треугольника равен сумме длин всех трех сторон треугольника. Периметр ΔABC= (AB + BC + AC)
• Разность длин любых двух сторон всегда меньше длины третьей стороны. Например, AB-BC< AC или BC-AC< AB
• Для подобных треугольников углы двух треугольников должны быть конгруэнтны друг другу, а соответствующие стороны должны быть пропорциональны.
• Площадь треугольника: 1/2 × основание × высота

Формулы треугольника

В геометрии для каждой двумерной формы (двумерной формы) всегда есть два основных измерения, которые нам нужно найти, т. е. площадь и периметр этой формы. Следовательно, у треугольника есть две основные формулы, которые помогают нам определить его площадь и периметр. Остановимся на формулах подробнее.

Периметр треугольника

Периметр треугольника определяется как сумма всех трех сторон треугольника. Предположим, что дан треугольник со сторонами a, b и c, тогда его периметр равен

Perimeter of triangle = a + b + c

Площадь треугольника

Площадь треугольника – это общая площадь, покрытая границей треугольника. Он равен половине произведения его основания и высоты. Площадь треугольника измеряется в квадратных единицах. Если основание треугольника равно b , а его высота равна h , то его площадь равна

Area of Δ = 1/2 × b × h

Площадь треугольника по формуле Герона

Когда три стороны треугольника известны, но его высота неизвестна, его площадь рассчитывается с использованием формулы Герона. Предположим, что задан треугольник со сторонами a, b и c, тогда его площадь вычисляется с использованием шагов, описанных ниже.

Шаги, чтобы найти площадь, используя формулу Герона

Шаг 1: Отметьте все размеры данного треугольника.

Шаг 2: Рассчитайте полупериметр (s) по формуле s = (a+b+c) / 2

Шаг 3: Используйте формулу для нахождения площади Площадь;

A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

where, 

a,b, and c are the sides of a triangle

Типы треугольников

Классификация треугольников производится на основе следующих признаков:

• Типы треугольников по сторонам
• Типы треугольников на основе углов

Типы треугольников по сторонам

По сторонам треугольники делятся на

• Неравносторонний треугольник
• Равнобедренный треугольник
• Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все три стороны равны между собой, как и все три внутренних угла равностороннего треугольника.

Поскольку все внутренние углы равны, а сумма всех внутренних углов треугольника равна 180° (одно из свойств треугольника). Мы можем вычислить отдельные углы равностороннего треугольника.

∠А+ ∠В+ ∠С = 180°

∠А = ∠В = ∠С

Следовательно, 3∠A = 180°

∠А= 180/3 = 60°

Следовательно, ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

Свойства равностороннего треугольника

• Все стороны равны.
• Все углы равны и равны 60°
• В равностороннем треугольнике существуют три оси симметрии
• Биссектриса угла, высота, медиана и перпендикулярная линия одинаковы, и здесь это AE.
• Ортоцентр и центр тяжести совпадают.

Формулы равностороннего треугольника

Основные формулы равносторонних треугольников:

• Area of Equilateral Triangle = √3/4 × a²
• Perimeter of Equilateral Triangle = 3a

where,
a is the side of triangle

Равнобедренный треугольник

В равнобедренном треугольнике две стороны равны и два угла, прилежащие к сторонам, также равны. Можно сказать, что любые две стороны всегда конгруэнтны. Площадь равнобедренного треугольника рассчитывается по формуле площади треугольника, как обсуждалось выше.

Свойства равнобедренного треугольника

• Две стороны равнобедренного треугольника всегда равны
• Третья сторона называется основанием треугольника, а высота рассчитывается от основания до противоположной вершины.
• Противоположные углы, соответствующие двум равным сторонам, также равны друг другу.

Неравносторонний треугольник

В разностороннем треугольнике все стороны и все углы не равны. Представьте, что вы наугад рисуете треугольник, и ни одна из его сторон не равна, все углы тоже отличаются друг от друга.

Свойства неравностороннего треугольника

• Ни одна из сторон не равна друг другу.
• Все внутренние углы разностороннего треугольника различны.
• Линии симметрии не существует.
• Точки симметрии не видно.
• Внутренние углы могут быть острыми, тупыми или прямыми по своей природе (это классификация, основанная на углах).
• Наименьшая сторона лежит против наименьшего угла, а наибольшая сторона лежит против наибольшего угла (общее свойство).

Типы треугольников на основе углов

В зависимости от углов треугольники делятся на

• Остроугольный треугольник
• Тупоугольный треугольник
• Прямоугольный треугольник

Остроугольный треугольник

В остроугольных треугольниках все углы больше 0° и меньше 90°. Таким образом, можно сказать, что все 3 угла по своей природе острые (углы меньше 90°).

Свойства остроугольных треугольников

• Все внутренние углы всегда меньше 90° при разных длинах сторон.
• Линия, идущая от основания к противоположной вершине, всегда перпендикулярна.

Тупоугольный треугольник

В тупоугольном треугольнике одна из трех сторон всегда будет больше 90°, а поскольку сумма всех трех сторон равна 180°, остальные две стороны будут меньше 90° (свойство суммы углов).

Свойства тупоугольного треугольника

• Один из трех углов всегда больше 90°.
• Сумма оставшихся двух углов всегда меньше 90° (свойство суммы углов).
• Окружность и ортоцентр тупого угла лежат вне треугольника.
• Incenter и центр тяжести лежат внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Когда один из углов треугольника равен ровно 90°, такой треугольник называется прямоугольным треугольником.

Свойства прямоугольного треугольника

• Прямоугольный треугольник должен иметь один угол, точно равный 90°, он может быть разносторонним или равнобедренным, но поскольку один угол должен быть равен 90°, следовательно, он никогда не может быть равносторонним треугольником.
• Сторона, противоположная 90°, называется гипотенузой.
• Стороны, примыкающие к 90°, являются основанием и перпендикулярны.
• Теорема Пифагора: это особое свойство прямоугольных треугольников. В нем говорится, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов основания и перпендикуляра, то есть AC ² = AB ² + BC ²

Решенные примеры на треугольниках

Пример 1: В треугольнике. ∠ACD = 120° и ∠ABC = 60°. Найдите тип треугольника.

Решение:

In the above figure, we can say, ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC (Exterior angle Property)

120° = 60° + ∠BAC

∠BAC = 60°

∠A + ∠B + ∠C = 180°

∠C OR ∠ACB = 60°

Since all the three angles are 60°, the triangle is an Equilateral Triangle.

Пример 2: Даны треугольники со сторонами 5 см, 5 см и 6 см. Найдите площадь и периметр треугольника.

Решение:

Given, the sides of a triangle are 5 cm, 5 cm, and 6 cm

Perimeter of the triangle = (5 + 5 + 6) = 16 cm

Semi Perimeter = 16 / 2 = 8 cm

Area of triangle = √s(s – a)(s – b)(s – c) (Using Heron’s Formula)

                         = √8(8 – 5)(8 – 5)(8 – 6)

                         = √144 = 12 cm²

Пример 3: В прямоугольном треугольнике ∠ACB = 60°, а длина основания равна 4 см. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Using trigonometric formula of tan60°,

tan60° = AB / BC = AB  /4

AB = 4√3cm

Area of Triangle ABC = 1/2 
                                  = 1/2 × 4 × 4√3 
                                  = 8√3 cm²

Пример 4: В ΔABC, если ∠A+ ∠B = 55°. ∠B + ∠C = 150°, Найдите угол B отдельно.

Решение:

Angle Sum Property of a Triangle says ∠A+ ∠B+ ∠C= 180°

Given: 
∠A+ ∠B = 55°
∠B+ ∠C = 150°

Adding the above 2 equations,

∠A+ ∠B+ ∠B+ ∠C= 205°
180°+ ∠B= 205°

∠B = 25°

Часто задаваемые вопросы о треугольниках

Вопрос 1: Что такое треугольник?

Отвечать:

A triangle is a polygon, with three sides and three vertices. A triangle also has three angles and the sum of all three angles of the triangle is 180 degrees.

Вопрос 2: Каковы основные формулы треугольника?

Отвечать:

The main triangle formulas are,

Area of triangle

A = [(½) b × h]

where ‘b’ is the base and ‘h’ is the height of the triangle.

Perimeter of a triangle

P = (a + b + c)

where ‘a’, ‘b’, and ‘c’ are the sides of the triangle.

Вопрос 3: Каковы шесть основных типов треугольников?

Отвечать:

The six basic types of triangles are:

• Acute angle triangles
• Obtuse angle triangles
• Right angle triangles
• Scalene Triangles
• Isosceles triangles
• Equilateral triangles

Вопрос 4: Каковы свойства треугольников?

Отвечать:

Some of the important properties of triangles are:

• Sum of all three angles of the triangle is equal to 180 degrees.
• Equal angles have equal sides opposite them.
• Sum of the length of any two sides of a triangle is always greater than the third side.

Вопрос 5: Всегда ли равнобедренный треугольник остроугольный?

Отвечать:

No, an isosceles triangle is not always an acute angle triangle it can be an acute angle, right angle, or obtuse-angled triangle depending upon the value of the angles of a triangle.

Вопрос 6: В чем разница между разносторонними, равнобедренными и равносторонними треугольниками?

Отвечать:

On the basis of sides triangles are of three types:

• Scalene Triangle: A triangle with all three sides unequal is called a Scalene triangle.
• Isosceles Triangle: A triangle in which any two sides are equal is an Isosceles triangle.
• Equilateral Triangle: A triangle with all three sides equal is called an Equilateral triangle.

Вопрос 7: В чем разница между остроугольным треугольником, тупоугольным треугольником и прямоугольным треугольником?

Отвечать:

On the basis of angles triangles are of three types:

• Acute Angle Triangle: A triangle with all three angles as acute angles is called an acute angle triangle.
• Obtuse Angle Triangle: A triangle with any one angle as an obtuse angle is called an obtuse angle triangle.
• Right Angle Triangle: A triangle with any one angle as a right angle is called a right angle triangle.

Вопрос 8: Объясните, почему прямоугольный треугольник никогда не может быть равносторонним треугольником.

Отвечать:

A Right angled triangle is one with any one of its angles equal to 90°, and other angles are less than 90°. Whereas in an equilateral triangle, all the interior angles are equal and are equal to 60° thus, it can never be possible in a right-angle triangle. So a right-angle triangle can never be an equilateral triangle.

Связанные ресурсы

• Rhombus
• Pythagoras Theorem
• Height and Distances