Теорема Тейлора и ряды Тейлора
Теорема Тейлора используется для разложения бесконечного ряда, такого как и т.д., чтобы мы могли аппроксимировать значения этих функций или многочленов. Теорема Тейлора используется для приближения функции, дифференцируемой по времени k.
Заявление:
Пусть (n-1) -я производная от т.е.
быть непрерывным в
n-я производная существует в
а также
быть заданным положительным целым числом. Тогда существует хотя бы одно число
лежит между 0 и 1 таким образом, что:
… ..
куда а также
Положив x = a + h или h = xa, мы запишем уравнение в виде: … ..
Остатки Тейлора R n после n слагаемых из-за:
1. Коши: мы просто полагаем p = 1 в теореме Тейлора, чтобы получить
2. Лагранж: p = n дает
Формула Тейлора:
Используя остаток Лагранжа, получаем формулу Тейлора: … ..
куда
При n → ∞ и R → 0 последний член формулы принимает вид
Следовательно, формула Тейлора сводится к следующему:
Эта формула теперь используется для разложения функции f (x) в бесконечный ряд вокруг точки a.
Пример:
Получите расширение ряда Тейлора
о точке x = -1.
Объяснение:
По формуле здесь a = -1 и нам предоставляется f (x). Прежде всего нам нужно вычислить f (a), а затем вычислить производные f (x) в данной точке, пока она не станет равной нулю.
На этом мы остановимся, так как следующая производная будет равна нулю. е ^ п (х)
= 0 для n> 5
Таким образом, разложение f (x) в ряд Тейлора относительно x = -1: … ..
Подставляя рассчитанные нами значения, получаем
Вниманию читателя! Не переставай учиться сейчас. Ознакомьтесь со всеми важными концепциями теории CS для собеседований по SDE с помощью курса теории CS по доступной для студентов цене и будьте готовы к работе в отрасли.