Сопряженная и обратная матрица

Опубликовано: 21 Января, 2022

Дана квадратная матрица, найдите сопряженную и обратную матрицу.

Мы настоятельно рекомендуем вам сделать это в качестве предварительного условия ниже.
Определитель матрицы

Что такое сопряженный?
Сопряженная (или сопряженная) матрица - это матрица, полученная путем транспонирования матрицы кофакторов данной квадратной матрицы, которая называется ее сопряженной или сопряженной матрицей. Сопряжение любой квадратной матрицы 'A' (скажем) представляется как Adj (A).

Пример:

Ниже взяты пример и объяснение.
5 -2 2 7
1 0 0 3
-3 1 5 0
3 -1-9 4

Например, сомножитель в верхнем левом углу "5" равен
 + | 0 0 3 |
... | 1 5 0 | = 3 (1 * -9 - (-1) * 5) = -12.
... | -1 -9 4 |
(Младшая матрица формируется удалением строки 
 и столбец данной записи.)

В качестве другого примера, сомножитель угла "-2" верхнего ряда равен
  - | 1 0 3 |
... | -3 5 0 | = - [1 (20-0) - 0 + 3 (27-15)] = -56.
... | 3 -9 4 |

Поступая таким образом, получаем матрицу
[-12 -56 4 4]
[76 208 4 4]
[-60 -82-2 20]
[-36 -58 -10 12]

Наконец, чтобы получить сопряженный, просто возьмите предыдущий
транспонирование матрицы:
[-12 76-60 -36]
[-56 208 -82 -58]
[4 4 -2 -10]
[4 4 20 12]

Важные свойства:

  • Произведение квадратной матрицы A на сопряженную дает диагональную матрицу, в которой каждый диагональный элемент равен определителю A.
    т.е.
    A.adj (A) = det (A) .II => Матрица идентичности того же порядка, что и у A.
det (A) => Определяющее значение A
  • Ненулевая квадратная матрица A порядка n называется обратимой, если существует единственная квадратная матрица B порядка n такая, что
       AB = BA = I
Матрица «B» называется обратной по отношению к «A».
т.е. B = A -1

Как найти Adjoint?
Мы следуем определению, данному выше.


Пусть A [N] [N] будет входной матрицей.

1) Создайте матрицу adj [N] [N], сохраните сопряженную матрицу.
2) Для каждой записи A [i] [j] во входной матрице, где 0 <= i <N
   и 0 <= j <N.
    а) Найдите сомножитель A [i] [j]
    б) Найдите знак въезда. Знак +, если (i + j) даже иначе
       знак нечетный.
    c) Поместите сомножитель в adj [j] [i].

Как найти инверс?
Матрица, обратная матрице, существует только в том случае, если матрица неособая, т. Е. Определитель не должен быть равен 0.
Используя определитель и сопряженный, мы можем легко найти обратную квадратную матрицу, используя формулу ниже:

  Если det (A)! = 0
    А -1 = прил (А) / дет (А)
  Еще
    «Обратного не существует»

Обратное используется для нахождения решения системы линейных уравнений.

Below are implementation for finding adjoint and inverse of a matrix.

C++

// C++ program to find adjoint and inverse of a matrix
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 4
  
// Function to get cofactor of A[p][q] in temp[][]. n is current
// dimension of A[][]
void getCofactor(int A[N][N], int temp[N][N], int p, int q, int n)
{
    int i = 0, j = 0;
  
    // Looping for each element of the matrix
    for (int row = 0; row < n; row++)
    {
        for (int col = 0; col < n; col++)
        {
            //  Copying into temporary matrix only those element
            //  which are not in given row and column
            if (row != p && col != q)
            {
                temp[i][j++] = A[row][col];
  
                // Row is filled, so increase row index and
                // reset col index
                if (j == n - 1)
                {
                    j = 0;
                    i++;
                }
            }
        }
    }
}
  
/* Recursive function for finding determinant of matrix.
   n is current dimension of A[][]. */
int determinant(int A[N][N], int n)
{
    int D = 0; // Initialize result
  
    //  Base case : if matrix contains single element
    if (n == 1)
        return A[0][0];
  
    int temp[N][N]; // To store cofactors
  
    int sign = 1;  // To store sign multiplier
  
     // Iterate for each element of first row
    for (int f = 0; f < n; f++)
    {
        // Getting Cofactor of A[0][f]
        getCofactor(A, temp, 0, f, n);
        D += sign * A[0][f] * determinant(temp, n - 1);
  
        // terms are to be added with alternate sign
        sign = -sign;
    }
  
    return D;
}
  
// Function to get adjoint of A[N][N] in adj[N][N].
void adjoint(int A[N][N],int adj[N][N])
{
    if (N == 1)
    {
        adj[0][0] = 1;
        return;
    }
  
    // temp is used to store cofactors of A[][]
    int sign = 1, temp[N][N];
  
    for (int i=0; i<N; i++)
    {
        for (int j=0; j<N; j++)
        {
            // Get cofactor of A[i][j]
            getCofactor(A, temp, i, j, N);
  
            // sign of adj[j][i] positive if sum of row
            // and column indexes is even.
            sign = ((i+j)%2==0)? 1: -1;
  
            // Interchanging rows and columns to get the
            // transpose of the cofactor matrix
            adj[j][i] = (sign)*(determinant(temp, N-1));
        }
    }
}
  
// Function to calculate and store inverse, returns false if
// matrix is singular
bool inverse(int A[N][N], float inverse[N][N])
{
    // Find determinant of A[][]
    int det = determinant(A, N);
    if (det == 0)
    {
        cout << "Singular matrix, can"t find its inverse";
        return false;
    }
  
    // Find adjoint
    int adj[N][N];
    adjoint(A, adj);
  
    // Find Inverse using formula "inverse(A) = adj(A)/det(A)"
    for (int i=0; i<N; i++)
        for (int j=0; j<N; j++)
            inverse[i][j] = adj[i][j]/float(det);
  
    return true;
}
  
// Generic function to display the matrix.  We use it to display
// both adjoin and inverse. adjoin is integer matrix and inverse
// is a float.
template<class T>
void display(T A[N][N])
{
    for (int i=0; i<N; i++)
    {
        for (int j=0; j<N; j++)
            cout << A[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
}
  
// Driver program
int main()
{
    int A[N][N] = { {5, -2, 2, 7},
                    {1, 0, 0, 3},
                    {-3, 1, 5, 0},
                    {3, -1, -9, 4}};
  
    int adj[N][N];  // To store adjoint of A[][]
  
    float inv[N][N]; // To store inverse of A[][]
  
    cout << "Input matrix is : ";
    display(A);
  
    cout << " The Adjoint is : ";
    adjoint(A, adj);
    display(adj);
  
    cout << " The Inverse is : ";
    if (inverse(A, inv))
        display(inv);
  
    return 0;
}

Java

// Java program to find adjoint and inverse of a matrix
class GFG
{
      
static final int N = 4;
  
// Function to get cofactor of A[p][q] in temp[][]. n is current
// dimension of A[][]
static void getCofactor(int A[][], int temp[][], int p, int q, int n)
{
    int i = 0, j = 0;
  
    // Looping for each element of the matrix
    for (int row = 0; row < n; row++)
    {
        for (int col = 0; col < n; col++)
        {
            // Copying into temporary matrix only those element
            // which are not in given row and column
            if (row != p && col != q)
            {
                temp[i][j++] = A[row][col];
  
                // Row is filled, so increase row index and
                // reset col index
                if (j == n - 1)
                {
                    j = 0;
                    i++;
                }
            }
        }
    }
}
  
/* Recursive function for finding determinant of matrix.
n is current dimension of A[][]. */
static int determinant(int A[][], int n)
{
    int D = 0; // Initialize result
  
    // Base case : if matrix contains single element
    if (n == 1)
        return A[0][0];
  
    int [][]temp = new int[N][N]; // To store cofactors
  
    int sign = 1; // To store sign multiplier
  
    // Iterate for each element of first row
    for (int f = 0; f < n; f++)
    {
        // Getting Cofactor of A[0][f]
        getCofactor(A, temp, 0, f, n);
        D += sign * A[0][f] * determinant(temp, n - 1);
  
        // terms are to be added with alternate sign
        sign = -sign;
    }
  
    return D;
}
  
// Function to get adjoint of A[N][N] in adj[N][N].
static void adjoint(int A[][],int [][]adj)
{
    if (N == 1)
    {
        adj[0][0] = 1;
        return;
    }
  
    // temp is used to store cofactors of A[][]
    int sign = 1;
    int [][]temp = new int[N][N];
  
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
        {
            // Get cofactor of A[i][j]
            getCofactor(A, temp, i, j, N);
  
            // sign of adj[j][i] positive if sum of row
            // and column indexes is even.
            sign = ((i + j) % 2 == 0)? 1: -1;
  
            // Interchanging rows and columns to get the
            // transpose of the cofactor matrix
            adj[j][i] = (sign)*(determinant(temp, N-1));
        }
    }
}
  
// Function to calculate and store inverse, returns false if
// matrix is singular
static boolean inverse(int A[][], float [][]inverse)
{
    // Find determinant of A[][]
    int det = determinant(A, N);
    if (det == 0)
    {
        System.out.print("Singular matrix, can"t find its inverse");
        return false;
    }
  
    // Find adjoint
    int [][]adj = new int[N][N];
    adjoint(A, adj);
  
    // Find Inverse using formula "inverse(A) = adj(A)/det(A)"
    for (int i = 0; i < N; i++)
        for (int j = 0; j < N; j++)
            inverse[i][j] = adj[i][j]/(float)det;
  
    return true;
}
  
// Generic function to display the matrix. We use it to display
// both adjoin and inverse. adjoin is integer matrix and inverse
// is a float.
  
static void display(int A[][])
{
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
            System.out.print(A[i][j]+ " ");
        System.out.println();
    }
}
static void display(float A[][])
{
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
            System.out.printf("%.6f ",A[i][j]);
        System.out.println();
    }
}
  
// Driver program
public static void main(String[] args)
{
    int A[][] = { {5, -2, 2, 7},
                    {1, 0, 0, 3},
                    {-3, 1, 5, 0},
                    {3, -1, -9, 4}};
  
    int [][]adj = new int[N][N]; // To store adjoint of A[][]
  
    float [][]inv = new float[N][N]; // To store inverse of A[][]
  
    System.out.print("Input matrix is : ");
    display(A);
  
    System.out.print(" The Adjoint is : ");
    adjoint(A, adj);
    display(adj);
  
    System.out.print(" The Inverse is : ");
    if (inverse(A, inv))
        display(inv);
  
}
}
  
// This code is contributed by Rajput-Ji

C#

// C# program to find adjoint and inverse of a matrix
using System;
using System.Collections.Generic;
  
class GFG
{
      
static readonly int N = 4;
  
// Function to get cofactor of A[p,q] in [,]temp. n is current
// dimension of [,]A
static void getCofactor(int [,]A, int [,]temp, int p, int q, int n)
{
    int i = 0, j = 0;
  
    // Looping for each element of the matrix
    for (int row = 0; row < n; row++)
    {
        for (int col = 0; col < n; col++)
        {
   &nb

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ СТАТЬИ