Ортогональные и ортонормированные векторы в линейной алгебре

Опубликовано: 17 Февраля, 2022

Ортогональные векторы: два вектора ортогональны друг другу, если их скалярное произведение равно 0.
Как мы определяем скалярный продукт?
Точечное произведение (скалярное произведение) двух n-мерных векторов A и B дается этим выражением.

Таким образом, векторы A и B ортогональны друг другу тогда и только тогда, когда

Примечание: в компактной форме приведенное выше выражение может быть записано как (A ^ T) B.

Пример:
Рассмотрим векторы v1 и v2 в трехмерном пространстве.

Взяв скалярное произведение векторов.

Следовательно, векторы ортогональны друг другу.

Code: Python program to illustrate orthogonal vectors.

# A python program to illustrate orthogonal vector
   
# Import numpy module
import numpy
   
# Taking two vectors
v1 = [[1, -2, 4]]
v2 = [[2, 5, 2]]
   
# Transpose of v1
transposeOfV1 = numpy.transpose(v1)
   
# Matrix multiplication of both vectors
result = numpy.dot(v2, transposeOfV1)
print("Result  = ", result)
   
# This code is contributed by Amiya Rout

Выход:

Result = [[0]]

Единичный вектор:
Рассмотрим вектор A. Единичный вектор вектора A можно определить как

Давайте разберемся в этом на примере. Рассмотрим вектор A в 2D-пространстве.

Величина A определяется выражением

Таким образом, единичный вектор A можно рассчитать как

Свойства единичного вектора:

Единичные векторы используются для определения направлений в системе координат.
Любые векторы можно записать как произведение единичного вектора и скалярной величины.

Ортонормированные векторы:
Это векторы с единичной величиной. Теперь возьмите те же два вектора, которые ортогональны друг другу, и вы знаете, что когда я беру скалярное произведение между этими двумя векторами, оно будет равно 0. Итак, если мы также наложим условие, что мы хотим, чтобы каждый из этих векторов имел единицу величина, то что мы могли бы сделать, это взять этот вектор, а затем разделить этот вектор на величину этого вектора, как мы видим в единичном векторе. Теперь мы можем записать v1 и v2 как

Итак, мы взяли векторы из предыдущего примера и преобразовали их в единичные векторы, разделив их на их величины. Таким образом, эти векторы по-прежнему будут ортогональны друг другу, и теперь по отдельности они также имеют единичную величину. Такие векторы известны как ортонормированные векторы.

Примечание. Все ортонормированные векторы ортогональны по самому определению.

Внимание компьютерщик! Укрепите свои основы с помощью базового курса программирования Python и изучите основы.

Для начала подготовьтесь к собеседованию. Расширьте свои концепции структур данных с помощью курса Python DS. А чтобы начать свое путешествие по машинному обучению, присоединяйтесь к курсу Машинное обучение - базовый уровень.

Python

Ортогональные и ортонормированные векторы в линейной алгебре

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ СТАТЬИ