Множители Лагранжа

Опубликовано: 17 Февраля, 2022

Одна из основных проблем, с которой сталкиваются инженеры, - это проблема оптимизации определенной функции. Математика дает нам прекрасный способ решать такие задачи. Этот метод известен как метод множителей Лагранжа .

Так как и когда подавать заявку? Есть определенные условия. Предположим, у вас есть следующая проблема:
Найдите координаты точки на плоскости 2x + 3y - 5z = 1, которая находится на наименьшем расстоянии от начала координат.

Итак, функция, которую вы хотите оптимизировать,

 √ (х 2 + y 2 + z 2 ),
Пусть это будет f (x, y, z)

Но у нас есть ограничение; точка должна лежать на данной плоскости. Следовательно, эта `` функция ограничения '' обычно обозначается g (x, y, z). Но перед применением метода множителя Лагранжа мы должны убедиться, что g (x, y , z) = c, где c - постоянная. В этой ситуации,

 g (x, y, z) = 2x + 3y - 5z

Это действительно равно константе, равной «1». Следовательно, мы можем применить метод.

Теперь нужно решить это уравнение:

 ∇f (x, y, z) = λ∇g (x, y, z)

где λ - действительное число.

Это дает нам 3 уравнения, и четвертое уравнение, конечно же, является нашей функцией ограничения g (x, y, z). Решите для x, y, z и λ.

Пример прояснит это.

Пример:
Найдите максимальное и минимальное значения f (x, y, z) = 3x 2 + y с учетом ограничения,

 4х - 3у = 9 
и x 2 + z 2 = 9

.

Этот пример был специально взят, чтобы научить вас, что делать в случае более чем одной функции ограничения. В таких случаях примите столько произвольных констант, сколько количество функций ограничений, и запишите уравнение в виде:

 ∇f (x, y, z) = c 1 ∇g (x, y, z) + c 2 ∇h (x, y, z) + c 3 ∇p (x, y, z) ... .. .

где c i для i = 1, 2, 3… - это просто действительные числа, а g, h, p - функции ограничений.

Теперь, если вы получаете более одного триплета, выясните, какой из них представляет максимум, а какой - минимум, удовлетворив его в функции, которую нужно оптимизировать, и сравните значения. В этом вопросе ответ будет:

 Максимум для (-2 / √13, 3 / √13, -2-7 / √13) и 
Минимум для (2 / √13, -3 / √13, -2 + 7 / √13)

Вниманию читателя! Не переставай учиться сейчас. Ознакомьтесь со всеми важными концепциями теории CS для собеседований по SDE с помощью курса теории CS по доступной для студентов цене и будьте готовы к работе в отрасли.

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ СТАТЬИ