Множители Лагранжа
Одна из основных проблем, с которой сталкиваются инженеры, - это проблема оптимизации определенной функции. Математика дает нам прекрасный способ решать такие задачи. Этот метод известен как метод множителей Лагранжа .
Так как и когда подавать заявку? Есть определенные условия. Предположим, у вас есть следующая проблема:
Найдите координаты точки на плоскости 2x + 3y - 5z = 1, которая находится на наименьшем расстоянии от начала координат.
Итак, функция, которую вы хотите оптимизировать,
√ (х 2 + y 2 + z 2 ), Пусть это будет f (x, y, z)
Но у нас есть ограничение; точка должна лежать на данной плоскости. Следовательно, эта `` функция ограничения '' обычно обозначается g (x, y, z). Но перед применением метода множителя Лагранжа мы должны убедиться, что g (x, y , z) = c, где c - постоянная. В этой ситуации,
g (x, y, z) = 2x + 3y - 5z
Это действительно равно константе, равной «1». Следовательно, мы можем применить метод.
Теперь нужно решить это уравнение:
∇f (x, y, z) = λ∇g (x, y, z)
где λ - действительное число.
Это дает нам 3 уравнения, и четвертое уравнение, конечно же, является нашей функцией ограничения g (x, y, z). Решите для x, y, z и λ.
Пример прояснит это.
Пример:
Найдите максимальное и минимальное значения f (x, y, z) = 3x 2 + y с учетом ограничения,
4х - 3у = 9 и x 2 + z 2 = 9
.
Этот пример был специально взят, чтобы научить вас, что делать в случае более чем одной функции ограничения. В таких случаях примите столько произвольных констант, сколько количество функций ограничений, и запишите уравнение в виде:
∇f (x, y, z) = c 1 ∇g (x, y, z) + c 2 ∇h (x, y, z) + c 3 ∇p (x, y, z) ... .. .
где c i для i = 1, 2, 3… - это просто действительные числа, а g, h, p - функции ограничений.
Теперь, если вы получаете более одного триплета, выясните, какой из них представляет максимум, а какой - минимум, удовлетворив его в функции, которую нужно оптимизировать, и сравните значения. В этом вопросе ответ будет:
Максимум для (-2 / √13, 3 / √13, -2-7 / √13) и Минимум для (2 / √13, -3 / √13, -2 + 7 / √13)
Вниманию читателя! Не переставай учиться сейчас. Ознакомьтесь со всеми важными концепциями теории CS для собеседований по SDE с помощью курса теории CS по доступной для студентов цене и будьте готовы к работе в отрасли.