Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
Есть два типа линейных дифференциальных уравнений второго порядка: однородные уравнения и неоднородные уравнения.
Однородные уравнения:
- Общая форма уравнения:
Эти уравнения имеют вид:A (x) y "+ B (x) y '+ C (x) y = 0
где y '= (dy / dx) и A (x), B (x) и C (x) - функции независимой переменной x.
В этой статье мы узнаем, как решить уравнение, в котором все три вышеупомянутые функции являются константами.
- Характеристики:
(I) Предположим, что g (x) - решение однородного уравнения. Мы докажем, что cg (x) также является решением, где c - постоянная.
Ag "+ Bg '+ Cg = 0 (1) Теперь A (cg) "+ B (cg) '+ Cg = cAg "+ cBg '+ Cg = с (Ag "+ Bg '+ Cg) = c (0) [From (1)] = 0
Следовательно, cg (x) также является решением.
(II) Предположим, что h (x) также является решением вместе с g (x). Мы докажем, что «h (x) + g (x)» также является решением.
Ag "+ Bg '+ Cg = 0 (1) Ah "+ Bh '+ Ch = 0 (2) Теперь A (h + g) "+ B (h + g) '+ C (h + g) = A (h "+ g") + B (h '+ g') + C (h + g) = (Ah "+ Bh '+ Ch) + (Ag" + Bg' + Cg) = 0 + 0 [Из (1) и (2)] = 0
(III) Исходя из I и II, мы можем сказать, что общее решение однородного уравнения:
'кг (x) + ch (x)'
где «k» и «c» - произвольные константы.
- Решение однородных уравнений:
Основной шаг, конечно же, состоит в том, чтобы «угадать» функцию, которая удовлетворяет уравнению. Но в данном случае я сделал это за вас. Первый шаг предполагает предположение,rx где 'r' - некоторое действительное число (может быть и сложным, как мы увидим!).
Так,Ar 2 e rx + Be rx r + Ce rx = 0. (e rx ) (Ar 2 + Br + C) = 0 [беря e rx, общее из всех членов] Ar 2 + Br + C = 0 [поскольку e rx не может быть нулевым]
На основании приведенного выше уравнения возникают 3 случая:
(I) Если оба корня действительны, скажем, r 1 и r 2 , то решение будет
f (x) = c 1 (e r 1 x ) + c 2 (e r 2 x )
(II) Если корни комплексные, то они должны быть сопряженными, поскольку коэффициенты квадратного уравнения действительны.
Пусть r1 = a1 + ia2, r2 = a1 - ia2
где «i» - это йота, т. е. «i» - квадратный корень из (-1).
Итак, общее решение будет таким:f (x) = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x
который, если упростить, будет выглядеть так:
f (x) = e a 1 x (k 1 cos (a 2 x) + k 2 sin (a 2 x))
[Надеюсь, вы знаете, что e it = cos (t) + isin (t). Также k 1 и k 2 отличаются от c 1 и c 2 ].
Я также рекомендую вам найти связь между k 1 и k 2 и c 1 и c 2 .(III) Если корни повторяются, то y = ce rx не является общим решением, а только частным решением. Так что делать? Следовательно, снова предположим,
у = p (x) e rx
где 'r' - корень, который вы получили в приведенном выше уравнении. Решив, вы получите это
р (х) = с 1 х + с 2
Следовательно, ваше общее решение будет выглядеть так:
y = (c 1 x + c 2 ) e rx
Эти примеры дадут вам ясность:
Пример-1:
y "+ 5y '+ 6y = 0
Предположим, y = e rx. Подставляя это в уравнение, мы наконец получаем:
г 2 + 5 г + 6 = 0 (г + 2) (г + 3) = 0 r = (-2) ИЛИ r = (-3)
Так,
r 1 = (-2) и r 2 = (-3)
Поскольку оба они реальны, общее решение будет таким:
y = c 1 e (-2x) + c 2 e (-3x)
Пример-2:
у "+ у '+ у = 0
Снова предположим y = r rx и решим относительно 'r'. Ваш 'r' будет выглядеть примерно так:
г 1 = (-1/2) + я (-sqrt (3) / 2) и r 2 = (-1/2) - i (-sqrt (3) / 2) Так, а 1 = (-1/2) и 2 = (sqrt (3) / 2)
Следовательно, общее решение будет выглядеть так:
y = e (-x / 2) (c 1 cos (x √ (3) / 2) + c 2 sin (x √ (3) / 2))
Пример-3:
у "+ 4у '+ 4у = 0
Снова предположим y = r rx и решим относительно 'r'. Конкретным решением будет:
y = ce 2x
Предположим, y = p (x) e 2x. Подставив его в дифференциальное уравнение, вы получите:
p "= 0, что означает p '= c 2, что снова влечет р = с 1 х + с 2
Следовательно, общее решение будет таким:
у = (с 1 х + с 2 ) е 2х
Вниманию читателя! Не переставай учиться сейчас. Ознакомьтесь со всеми важными концепциями теории CS для собеседований по SDE с помощью курса теории CS по доступной для студентов цене и будьте готовы к работе в отрасли.