GRE Geometry | Круги

Опубликовано: 16 Февраля, 2022

Круг - это двухмерная фигура. Это замкнутая фигура, в которой граница равноудалена от центра, а расстояние от центра до границы называется радиусом, и оно остается неизменным на протяжении всей фигуры.

C - центр круга. Периметр круга называется окружностью.

Важные свойства круга:

  • Площадь круга = π * r * r
  • Периметр круга = 2 * π * r
    или π * диаметр

  • диаметр = 2 * радиус

Полукруг:

Важные свойства круга:

  • Площадь полукруга = π * r * r / 2
  • Периметр полукруга = * π * r
    или π * диаметр / 2

π - отношение длины окружности к диаметру круга, которое одинаково для всей окружности, или,

 = окружность / диаметр 
= π или окружность / (2 * радиус) 
= π

π - неповторяющееся и не завершающееся число, равное 22/7 или приблизительно 3,14.

Аккорд:
Это отрезок прямой, соединяющий две точки на окружности. Диаметр - это особый вид хорды, проходящей через центр окружности.

AB и BD - хорда данной окружности.

Дуга:
Рассмотрим любые две точки на окружности круга, длина между этими двумя точками, включая все точки между ними, называется дугой. Обычно дуга содержит 3 точки, чтобы избежать неоднозначности.

ADE - это дуга данного круга. D - это точка между A и E, чтобы избежать двусмысленности.

Как найти длину дуги?
Длина дуги = (угол, ограниченный дугой в центре / 360 °) * окружность

Что такое сектор?
Сектор - это область, покрытая дугой.
Площадь сектора = радиус * угол между секторами.
∠ ACED = 120 °
Площадь сектора = радиус * угол между секторами.

Касательная и точка касания:
Касательная - это отрезок прямой, который лежит на той же плоскости, что и окружность, и касается окружности только в одной точке. Эта точка называется точкой касания.

AP и BP касаются окружности, где A и B - точки касания. Радиус проведен до точки касания перпендикулярно касательной.

Касательные, проведенные из одной точки, равны по длине.
или AP = BP.

Что такое начертанная фигура и описанная фигура?
Вписанная фигура: когда круг покрывает все точки многоугольника, тогда многоугольник вписывается в круг.

Описанная фигура: когда круг находится внутри многоугольника, его периметр касается всех сторон многоугольника и каждая сторона многоугольника касается круга, тогда фигура называется описанной.

Что такое концентрические круги?
Два или более одинаковых круга разного радиуса являются концентрическими кругами.



Пример-1:
Каков радиус круга площадью 154 см 2 ?
Решение:

 Площадь круга = π * радиус * радиус 
154 = 22/7 * радиус * радиус (возьмем π = 22/7)
49 = радиус * радиус 
радиус = 7 см



Пример-2:

Если ∠ ADB = 65 °, то какова сумма ∠ ADB, ∠ ACB и ∠ AEB?
Решение:
Углы, образованные двумя точками в одной дуге, равны.

 ∠ ADB = ∠ ACB = ∠ AEB = 65 °
∠ ADB + ∠ ACB + ∠ AEB = 195 °


Пример-3:
Каким будет периметр четырехугольника APBC, если радиус окружности 5 см, а длина CP равна 13?

Решение:
Угол касательной в точке касания вместе с радиусом всегда составляет 90 °.
Итак, треугольник APC - это прямоугольный треугольник.
Примените теорему Пифагора в треугольнике APC:

 AP 2 + AC 2 = ПК 2
AP 2 = ПК 2 - AC 2
AP 2 = 13 2 - 5 2
AP 2 = 169 - 25
AP 2 = 144
AP = 12

Поскольку касательные от одной и той же внешней точки равны по длине.

 AP = BP = 12 см

Периметр четырехугольника: 
= 12 + 12 + 5 + 5 
= 34 см

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ СТАТЬИ