Доказательство: почему вероятность дополнения A равна единице минус вероятность A [P(A') = 1-P(A)]
Вероятность относится к степени возникновения событий. Когда происходит событие, такое как бросок мяча, выбор карты из колоды и т. д., то с этим событием должна быть связана некоторая вероятность.
Основные термины:
- Случайное событие-
Если повторение опыта происходит несколько раз в одинаковых условиях, если оно не дает каждый раз один и тот же результат, а исходом в испытании является один из нескольких возможных исходов, то такой эксперимент называется случайным событием или вероятностным событием. мероприятие. - Пробное пространство –
Выборочное пространство относится к набору всех возможных результатов случайного события. Например, когда подбрасывается монета, возможны исходы «орёл» и «решка». - Событие –
Событие относится к подмножеству выборочного пространства, связанному со случайным событием. - Возникновение события –
Говорят, что событие, связанное со случайным событием, произошло, если любое из принадлежащих ему элементарных событий является исходом. - Дополнение –
В множествах, дополнении множества, A - это множество всех элементов, которые не присутствуют в A. Оно обозначается A' или A c . Например, в эксперименте по броску игральной кости, если А — это множество всех четных исходов, то А' — это множество всех нечетных исходов. - Взаимоисключающие события –
Два или более события, связанные со случайным событием, называются взаимоисключающими. Если происходит одно из событий, оно предотвращает возникновение всех остальных событий. Это означает, что никакие два или более события не могут произойти одновременно.
If A and B are mutually exclusive events, then A ∩ B = ∅ Also, P(A ∩ B) = 0
Аксиомы вероятности:
- For any set A, the probability of A will always be greater than or equal to zero, i.e. P(A) >=0
- The probability of Sample Space(S) will always be equal to one i.e. P(S) = 1.
- If A1, A2, A3, A4 … AN are mutually exclusive events, then the probability of the union of these mutually exclusive events will be equal to the sum of the probability of these mutually exclusive events, i.e. P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ …. AN) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + …. + P(AN)
Постановка задачи:
Почему вероятность дополнения A равна единице минус вероятность A?
Решение:
Приступим к доказательству приведенной выше постановки задачи. Ниже приведены шаги для доказательства-
1. Рассмотрим событие A. Поскольку выборочное пространство эксперимента содержит все возможные исходы эксперимента, а объединение A и A' содержит все возможные исходы эксперимента. Таким образом, демонстрационное пространство может быть записано как:
S = A ∪ A" Also, P(S) = P(A ∪ A") --- (1)
2. Поскольку пересечение А и А' равно ∅, можно сказать, что А и А' — взаимоисключающие события. Итак, согласно аксиоме 3,
Since, A ∩ A" = ∅ P(A ∪ A") = P(A) + P(A") --- (2)
3. Теперь из уравнения (1) и (2) можно записать как
P(S) = P(A) + P(A")
4. Из аксиомы 2 известно, что вероятность выборочного пространства всегда равна 1, т.е.
P(S) = 1 P(A) + P(A") = 1 --- (3)
5. После преобразования уравнения (3) получается следующее уравнение:
P(A") = 1 - P(A)
т. е. вероятность дополнения A равна единице минус вероятность A. Следовательно, доказано.
Примеры:
Давайте посмотрим на некоторые решенные примеры, связанные с приведенным выше доказательством.
1. Игральная кость подбрасывается один раз.
Event A- An even number appears
Sample Space, S- {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(S) = 1
A = {2, 4, 6} i.e. P(A) = 3/6 = 1/2
A’ = {1, 3, 5} i.e. P(A’) =3/6 = 1/2
Now, we can easily observe that S = A ∪ A’ and since A ∩ A’ = ∅,
A and A’ are mutually exclusive events, which impliesP(S) = P(A ∪ A’)
P(S) = P(A) + P(A’)
P(S) = 1/2 + 1/2
= 1
P(A’) = 1 – P(A)
P(A’) = 1 – 1/2
P(A’) = 1/2
2. Подбрасываются две монеты.
Event A- Two head appears
Sample Space, S- {HH, HT, TH, TT}
P(S) = 1
A = {HH} i.e. P(A) =1/4
A’ = {HT, TH, TT} i.e. P(A’) =3/4
i.e. S = A ∪ A’ and since A ∩ A’ = ∅, we can say that A and A’ are
mutually exclusive events, which implies that –P(S) = P(A ∪ A’)
P(S) = P(A) + P(A’)
P(S) = 1/4 + 3/4
P(S) = 1
P(A’) = 1 – P(A)
P(A’) = 1 – 1/4
P(A’) = 3/4