Доказательство: почему среднеквадратичное значение двух положительных чисел всегда больше, чем их среднее геометрическое?

Опубликовано: 22 Сентября, 2022

В этой статье основное внимание уделяется обсуждению доказательства того, почему среднеквадратичное значение двух положительных чисел всегда больше их среднего геометрического. Прежде чем углубляться в детали доказательства, давайте сначала обсудим основные термины:

Среднеквадратичное значение (RMS) :
Рассмотрим некоторые числа, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , …. A N , среднеквадратичное значение этих чисел будет равно квадратному корню из среднего арифметического квадратов этих чисел, т.е.

For A1, A2, A3 ... AN, the RMS value equals to-
Root Mean Square (RMS) = √(((A1)2 + (A2)2 + (A3)2 +...+ (AN)2)/N)

For two numbers, A and B, their RMS value equals to- 
Root Mean Square (RMS) = √((A2 + B2)/2)

Среднеквадратичное значение также известно как среднее квадратичное и имеет очень широкий спектр применений. В статистике он часто используется как альтернатива термину стандартное отклонение. Он также используется во многих понятиях, связанных с физикой, таких как электричество и т. д.

Среднее геометрическое (GM) :
Рассмотрим некоторые числа, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , …. A N среднее геометрическое этих чисел будет равно n-му квадратному корню из произведения всех этих чисел, т.е.

For A1, A2, A3 ... AN, the GM value equals to-
Geometric Mean (GM) = n√(A1 * A2 * A3 * ... * AN)

For two numbers, A and B, the GM value equals to-
Geometric Mean (GM) = √(A * B)

Он используется для нахождения среднего или среднего значения геометрических последовательностей, что помогает нам в изучении и анализе многих реальных понятий, таких как рост бактерий, инвестиции и т. д.

Постановка задачи:
Среднеквадратичное значение двух положительных чисел всегда больше среднего геометрического для тех же двух чисел.

Решение:
Рассмотрим два числа, A и B, такие, что A, B > 0 и A ≠ B.

1. Рассмотрим формулу квадрата разности двух положительных чисел-

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2 --- (1)

2. Известно, что квадрат числа всегда больше или равен нулю. Но здесь у нас есть A ≠ B. Таким образом, это можно записать как-

(A - B)2 > 0

3. Расширение левой части приведенного выше уравнения с использованием свойства, определенного в уравнении 1-

A2 - 2AB + B2 > 0

4. После некоторых перестановок-

A2 + B2 > 2AB

5. Умножение приведенного выше уравнения на 2-

((A2 + B2)/2) > (A * B)

6. Так как обе стороны больше 0, т.е. положительны. После возведения обеих сторон в квадрат получается следующее уравнение:

√((A2 + B2)/2) > (A * B)

Обратите внимание, что левая часть представляет собой среднеквадратичное значение, а правая часть равна среднему геометрическому значений A и B . Это доказывает, что среднеквадратичное значение всегда больше среднего геометрического для двух положительных чисел.

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ СТАТЬИ