Абсолютные, относительные и процентные ошибки в численном анализе

Опубликовано: 14 Декабря, 2021

Давайте сначала узнаем некоторые основы чисел, используемых в арифметике с плавающей запятой или, другими словами, численный анализ, и о том, как они вычисляются.

По сути, все числа, которые мы используем в численном анализе, бывают двух следующих типов.

  • Точные числа -
    Числа, у которых указано точное количество, означают, что их значение не изменится. Например - 3, 2, 5, 7, 1/3, 4/5 или √2 и т. Д.
  • Приблизительные цифры -
    Эти числа представлены десятичными числами. У них есть определенные степени точности. Подобно тому, как значение π равно 3,1416, если мы хотим более точное значение, мы можем написать 3,14159265, но мы не можем записать точное значение π.

    Эти цифры, которые мы используем в любом приблизительном значении или иным образом цифры, которые представляют числа, называются значащими цифрами.

Как посчитать значащие цифры в данном числе:
Например -
В нормальном значении π (3,1416) есть 5 значащих цифр, и когда мы напишем более точное его значение (3,14159265), мы получим 9 значащих цифр.
Допустим, у нас есть числа: 0,0123, 1,2300 и 0,10234. Теперь у нас есть 4, 3 и 5 значащих цифр соответственно.
В научном представлении чисел -
2.345 × 10 7 , 8.7456 × 10 4 , 5.4 × 10 6 имеют 4, 5 и 2 значащие цифры соответственно.

Абсолютная ошибка:
Пусть истинное значение количества будет X, а приблизительное значение этого количества будет X 1 . Следовательно, абсолютная ошибка определяет разницу между X и X 1 . Абсолютная ошибка обозначается E A.

 Следовательно, E A = XX 1 = δX

Относительная ошибка:
Это определяется следующим образом.

 E R = E A / X = (Абсолютная ошибка) / X

Ошибка в процентах:
Это определяется следующим образом.

 E P = 100 × E P = 100 × E A / X

Допустим, у нас есть число δX = | X 1 -X | , Это верхний предел абсолютной погрешности, известный как абсолютная точность.

Аналогично величина δX / | X | или δX / | X 1 | называется относительной точностью.

Теперь давайте решим несколько примеров следующим образом.

  • Экс-1:
    Нам дано приблизительное значение π: 22/7 = 3,1428571, а истинное значение - 3,1415926. Вычислить абсолютные, относительные и процентные ошибки?
    Решение -
    У нас истинное значение X = 3,1415926, и прибл. значение X 1 = 3,1428571.
Итак, теперь мы вычисляем абсолютную ошибку, мы знаем, что E A = X - X 1 = δX
Следовательно, E A = 3,1415926- 3,1428571 = -0,0012645

Ответ -0,0012645
Теперь для относительной ошибки мы (абсолютная ошибка) / (истинное значение количества) 
Следовательно, E R = E A / X = (Абсолютная ошибка) / X, E A = (- 0,0012645) / 3,1415926 = -0,000402 анс .

Ошибка в процентах, 
E P = 100 × E A / X = 100 × (-0,000402) = - 0,0402 пн.
  • Экс-2:
    Пусть приблизительные значения числа 1/3 равны 0,30, 0,33, 0,34. Найдите наилучшее приближение.
    Решение -
    Наш подход заключается в том, что мы сначала находим значение абсолютной ошибки, и любое значение, имеющее наименьшее абсолютное значение, будет лучшим. Итак, сначала рассчитаем абсолютные погрешности во всех приведенных приблизительных значениях.
    <pre
    | XX 1 | = | 1/3 - 0,30 | = 1/30
    | 1/3 - 0,33 | = 1/300
    | 1/3 - 0,34 | = 0,02 / 3 = 1/500

    Следовательно, мы можем сказать, что 0,33 - наиболее точное значение 1/3;

  • Отл-3:

    Найти разницу -

    √5,35 - √4,35

    Решение -

     
√5,35 = 2,31300
√4,35 = 2,08566
Следовательно, √5,35 - √4,35 = 2,31300 - 2,08566 = 0,22734

    Здесь наш ответ состоит из 5 значащих цифр, которые мы можем изменить в соответствии с нашими требованиями.

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ СТАТЬИ