Запишите уравнение окружности x2 – 6x + y2 + 8y + 12 = 36 в стандартной форме.

Такие кривые, как окружность, парабола, эллипс, гипербола, называются коническими сечениями. Образующиеся кривые известны как коническое сечение, на наиболее простом языке они называются кониками, поскольку они могут быть образованы пересечением плоскости с прямым круговым конусом с двойной вершиной. Например, если конус разрезать плоскостью под прямым углом, получится круг, а если разрезать под определенным углом, то получатся конические формы типа параболы, эллипса и т. д. Давайте обсудим круг более подробно,

Круг

Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки плоскости. Неподвижная точка называется центром окружности, а расстояние от центра окружности до точки на окружности называется радиусом окружности. Общее представление уравнения окружности получается из общего уравнения коник. Давайте узнаем об уравнении окружности.

Общее представление круга

Standard Equation of circle is, (x – h)² + (y – k)² = r²

Запишите уравнение окружности x ² – 6x + y ² + 8y + 12 = 36 в стандартной форме.

Решение :

Now given the equation of circle: x² – 6x + y² + 8y + 12 = 36

Convert the given equation in standard form of equation of circle,

Approach 

• Step 1: At first convert the given equation in general form of circle, x²+ y² + cx + dy = r
• Step 2: After converting it into general from apply the method of completing squares to convert the LHS part in whole square form.

Given Equation- x² – 6x + y² + 8y + 12 = 36

• Step 1: Converting into general form

x² – 6x + y² + 8y = 36 – 12

x² – 6x + y² + 8y = 24

• Step 2: Now Applying method of competing squares

(x² – 6x) + (y² + 8y) = 24

Adding half of the coefficients of both x and y in both sides of equation, 

(x² – 6x + (3)²) + (y² + 8y + (4)²) = 24 + 3² + 4²

(x – 3)² + (y + 4)² = 24 + 9 + 16

(x – 3)² + (y + 4)² = 49

(x – 3)² + (y + 4)² = 7² ⇢ (1)

So Standard form is, (x – 3)² + (y + 4)² = 49

Now Comparing equation (1) with the standard equation of the circle,

Centre of circle ⇢ (h , k) = (3, -4)

Radius of circle = 7

Примеры проблем

Вопрос 1: Напишите стандартную форму уравнения данной окружности, x ² – 6x +y ² – 4y = 12

Решение:

Given Equation: x² – 6x + y² – 4y = 12

• Step 1: Converting into general form,

This is already in general form.

• Step 2: Now Applying method of competing squares,

(x² – 6x) + (y² – 4y) = 12

Adding half of coefficients of both x and y in both sides of equation,

(x² – 6x + (3)²) + (y² – 4y + (2)²) = 12 + 3² + 2²

(x – 3)² + (y – 2)² = 12 + 9 + 4

(x – 3)² + (y – 2)² = 25

(x – 3)² + (y – 2)² = 5² ⇢ 1

So Standard form is: (x – 3)² + (y – 2)² = 25

Вопрос 2: Найдите радиус и центр окружности следующего уравнения окружности. Также найдите стандартное уравнение окружности.

х ² + 6х + у ² - 8у =171

Решение:

Given Equation x² – 6x + y² – 8y = 171

Step1: Converting into general form,

This is already in general form

Step 2: Now Applying method of competing squares,

(x² – 6x) + (y² – 8y) = 171

Adding half of coefficients of both x and y in both sides of equation,

(x² – 6x + (3)²) + (y² – 8y + (4)²) = 171 + 3² + 4²

(x – 3)² + (y – 4)² = 171 + 9 + 16

(x – 3) + (y – 2)2 = 196

(x – 3)² + (y – 4)² = (14)² ⇢ 1

So Standard form is :- (x-3)² + (y-4)² = 196

Centre of circle ≡ (h , k) = (3, 4)

Radius of circle = 14

Вопрос 3: Запишите стандартную форму уравнения данной окружности: x ² – 2x +y ² + 4y + 4 = 0

Решение:

Given Equation: x² – 2x + y² + 4y + 4 = 0

• Step1: Converting into general form

x² – 2x + y² + 4y = -4 Step2: Now Applying method of competing squares

(x² – 2x) + (y² + 4y) = -4

Adding half of coefficients of both x and y in both sides of equation

(x² – 2x + (1)²) + (y² + 4y + (2)²) = -4 + 1² + 2²

(x – 1)² + (y + 2)² = -4 + 1 + 4

(x – 1)² + (y + 2)² = 1

(x – 1)² + (y + 2)² = 1² ⇢ 1

So Standard form is: (x – 1)² + (y + 2)² = 1

Вопрос 4: Напишите стандартную форму уравнения данной окружности: x ² – 2x +y ² + 4y – 20 = 0

Решение:

Given Equation: x² – 2x + y² + 4y – 20 = 0

• Step1: Converting into general form

x² – 2x + y² + 4y =  +20

Step2: Now Applying method of competing squares

(x² – 2x) + (y² + 4y) = 20

Adding half of coefficients of both x and y in both sides of equation we get –

(x² – 2x + (1)²) + (y² + 4y + (2)²) = 20 + 1 + 4

(x – 1)² + (y + 2)² = 20 + 1 + 4

(x – 1)² + (y + 2)² = 25

(x – 1)² + (y + 2)² = 5²  

So Standard form is: (x – 1)² + (y + 2)² = 5²

Вопрос 5: Дан радиус = 10 единиц, а центр равен (-2, 0). Получите стандартное уравнение и общую форму уравнения окружности.

Решение:

Center ≡ (-2, 0)

radius = 10 units.

Standard form of equation is: (x – h)² + (y – k)² = r²

By above equation we replace the value of center and radius,

(x – (-2))² + (y – 0)² = 10²

⇒ (x + 2)² + y² = 10²

So, Standard form of equation is: (x + 2)² + y² = 10²

Now converting the above equation to get the general form :-

(x² + 2² + 4x) + y² = 100

x² + y² + 4x + 4 = 100

General form of equation is: x² + y² + 4x – 96 = 0